保型表現と周期

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前年度に引き続き,Gross-Prasad予想の研究を行った。Gross-Prasad予想は,特殊直交群の保型形式を部分特殊直交群に制限した時,その消滅性とある種の保型L関数の特殊値の消滅性が同値であることを主張する。前年度までの池田保氏(京都大)との共同研究において,特殊直交群の保型形式の制限を,保型L関数の特殊値や局所因子,そしてArthur予想に現れる2のベキを用いて具体的に表す予想の定式化に成功した。この予想を低次元の場合に証明するため,今年度はWee Teck Gan氏(UCSD)との共同研究において,吉田リフトに対応する保型表現の,対角埋め込みに関する制限について研究した。まだ詳細は詰めていないが,Kudlaによるシーソーや,Rallisの内積公式,そして以前証明した,三重線形写像を三重積L関数を用いて表す公式を使って,予想を証明する方針が立った。前年度の平賀郁氏(京都大),池田保氏(京都大)との共同研究において,局所体上の簡約代数群の離散系列表現に対し,形式次数の研究を行った。この研究に関する論文の執筆を担当し,論文は既に出版が予定されている。さらに大域的な周期をL関数で表す公式に基づき,形式次数を与える積分のある種の一般化を,一般線形群に対して考察した。そのために,討論や実験的な計算を行い,いくつかの知見を得ることができたが,実際にどのような現象が起きているのかを把握するまでにはいたらず,今後の課題として残った。