Cohomology of locally symmetric spaces and Langlands functoriality

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Kartik Prasanna（ミシガン大学）と共同で、楕円保型形式と虚二次体の量指標から定まる次数４のＬ関数の研究を行った。特にＬ関数の関数等式の符号が負の場合に、Ｌ関数の中心微分値と代数的サイクルの関係を明らかにすることを目標として研究を行っている。量指標がイデアル類群の指標の場合、Gross-Zagier公式により中心微分値がHeegner点とよばれる代数的サイクルの高さを使って表せることが知られている。この公式は１９８０年代に証明され、今まで様々な場合に拡張されてきた。そのひとつがBertolini-Darmon-Prasanna公式であり、これはより一般の量指標に対してｐ進Ｌ関数の中心値を一般Heegnerサイクルのｐ進高さ、すなわちｐ進Abel-Jacobi写像を使って表すものである。この公式においては無限素点における関数等式の符号が負と仮定する必要があるが、本研究では無限素点における関数等式の符号が正の場合を考察する。この場合は状況が一変し、先行研究における代数的サイクルの構成を適応しても有限集合しか得られないため、適切な設定を与えることが大きな障害として残っていた。昨年度までの研究においては、２次Siegelモジュラー多様体上の代数的サイクルで２次ユニタリ群から定まるものが適切な設定を与えることが判明している。今年度はその研究をさらに推し進め、ｐ進保型形式の族のｐ進周期の計算を行った。特に、周期の公式にｐ進Ｌ関数に現れる修正Euler因子が生じることが確認できた。