A study on polyhedral realization of graphs on surfaces using graph minor theory and local deformations

曲面上に与えられたグラフが、3次元ユークリッド空間に多面体として実現可能か(多面体的実現可能か)という問題の歴史は古く、最も古い研究は1922年のSteinitzの定理にさかのぼるだろう。1960年代にGrumbaumが「任意の向き付け可能な閉曲面の三角形分割は多面体的実現可能である」ことを予想したが、Steinitzの球面上の定理が証明されて以来、それは長い間未解決であった。しかし、2006年、Bokowskiたちは種数6の曲面に反例を見つけ、2007年にはArchdeaconたちがトーラス上ではこの予想が正しいことを証明した。本研究では、それらの研究の流れを汲み、向き付け不可能な種数1の閉曲面(射影平面)上の三角形分割から1つの面を取り除いて得られるメビウスの帯の三角形分割の多面体的実現の研究を行った。特に、射影平面の任意の三角形分割は、ある1つの面を取り除くと、多面体的実現を持つことを証明し、さらに、任意の1つの面を取り除くことにより多面体的実現を持つ三角形分割を特徴付けた。

曲面上に与えられたグラフが、3次元ユークリッド空間に多面体として実現可能か(多面体的実現可能か)という問題の歴史は古く、最も古い研究は1922年のSteinitzの定理にさかのぼるだろう。1960年代にGrumbaumが「任意の向き付け可能な閉曲面の三角形分割は多面体的実現可能である」ことを予想したが、Steinitzの球面上の定理が証明されて以来、それは長い間未解決であった。しかし、2006年、Bokowskiたちは種数6の曲面に反例を見つけ、2007年にはArchdeaconたちがトーラス上ではこの予想が正しいことを証明した。本研究では、それらの研究の流れを汲み、向き付け不可能な種数1の閉曲面(射影平面)上の三角形分割から1つの面を取り除いて得られるメビウスの帯の三角形分割の多面体的実現の研究を行った。特に、射影平面の任意の三角形分割は、ある1つの面を取り除くと、多面体的実現を持つことを証明し、さらに、任意の1つの面を取り除くことにより多面体的実現を持つ三角形分割を特徴付けた。