漸近的複素双曲アインシュタイン計量の変形の研究とその一般化

本研究の目的は、漸近的複素双曲アインシュタイン（ACHE）計量の変形理論を構築すること、またそれを通じて、一般の「放物幾何」が境界に誘導される場合の漸近的対称アインシュタイン空間の描像を明らかにすることである。本年度は主に、ACHE計量の代表的な例である有界強擬凸領域上の完備ケーラー・アインシュタイン計量（Cheng-Yau計量）が、「自在に」ACHE計量に変形できることを証明するという問題に取り組んだ。ここで「自在に」というのは、計量が無限遠境界に誘導する（一般化された）CR構造を自由に微小摂動できることを指す。そのような状況を明らかにすることで、ACHE計量のなす空間（ACHE計量のモジュライ空間）におけるCheng-Yau計量の分布の仕方を、ある程度解明しようとしたのである。2014年11月下旬から2015年6月末まで高等師範学校（フランス）に滞在しながら、現地の研究者と意見交換をしつつこの問題に取り組み、ある種の場合においては（すなわち、複素次元が3以上であれば）上に述べた「自在な変形」が可能であることを証明した。その証明においては、正則接バンドルに値を持つL2ドルボー・コホモロジーの考察が重要なステップとなった。帰国後の研究によってさらに、そこで用いた方法が1983年にH. Donnelly氏とC. Fefferman氏によって証明された定理について新たな理解をもたらすことも明らかになった。以上の内容を論文にまとめ、プレプリントサーバarXivにてその原稿を公開した。また、Cheng-Yau計量の幾何学的応用として、CR多様体の全Q-prime曲率について平地健吾氏、丸亀泰二氏とともに考察し、論文をまとめて論文誌への投稿を行った。この原稿もarXivで公開している。

本研究の目的は、漸近的複素双曲アインシュタイン（ACHE）計量の変形理論を構築すること、またそれを通じて、一般の「放物幾何」が境界に誘導される場合の漸近的対称アインシュタイン空間の描像を明らかにすることである。本年度は主に、ACHE計量の代表的な例である有界強擬凸領域上の完備ケーラー・アインシュタイン計量（Cheng-Yau計量）が、「自在に」ACHE計量に変形できることを証明するという問題に取り組んだ。ここで「自在に」というのは、計量が無限遠境界に誘導する（一般化された）CR構造を自由に微小摂動できることを指す。そのような状況を明らかにすることで、ACHE計量のなす空間（ACHE計量のモジュライ空間）におけるCheng-Yau計量の分布の仕方を、ある程度解明しようとしたのである。2014年11月下旬から2015年6月末まで高等師範学校（フランス）に滞在しながら、現地の研究者と意見交換をしつつこの問題に取り組み、ある種の場合においては（すなわち、複素次元が3以上であれば）上に述べた「自在な変形」が可能であることを証明した。その証明においては、正則接バンドルに値を持つL2ドルボー・コホモロジーの考察が重要なステップとなった。帰国後の研究によってさらに、そこで用いた方法が1983年にH. Donnelly氏とC. Fefferman氏によって証明された定理について新たな理解をもたらすことも明らかになった。以上の内容を論文にまとめ、プレプリントサーバarXivにてその原稿を公開した。また、Cheng-Yau計量の幾何学的応用として、CR多様体の全Q-prime曲率について平地健吾氏、丸亀泰二氏とともに考察し、論文をまとめて論文誌への投稿を行った。この原稿もarXivで公開している。