CR多様体の幾何学的不変量の研究

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本年度は主に、CR幾何学における全Q曲率の、CR構造の変形に関する変分、およびそのCR可積分性との関係について研究を進めた。4次元共形幾何学において、ワイル共形不変量は重要な不変量である。全Q曲率はその一般化にあたり、より高い(偶数)次元のコンパクト共形多様体に対して定義される。その定義に用いられるのは、アンビエント計量、もしくはボアンカレ・アインシュタイン計量である。CR幾何学においては、ボアンカレー・アインシュタイン計量の類似物として漸近的複素双曲アインシュタイン計量があり、これを用いて全Q曲率の類似が定義できると考えられる。特別な場合には、これに相当する考察をC.Fefferman氏と平地健菩氏が行っていたが、研究代表者による一昨年度の研究に基づき、より広いクラスのコンパクトCR多様体に対して、全Q曲率の定義が与えられた。さらにCR全Q曲率の第一変分公式が示され、特に、CR全Q曲率がゼロでない値をとる場合があることが初めて証明された。CR全Q曲率の第二変分についての研究を目指し、昨年度、より容易な共形幾何学の場合の全Q曲率の第二変分公式を、無限小アインシュタイン変形の方程式を解くというアプローチにより導いた。本年度の目標はその手法をCR幾何学の場合に応用することであった。研究の結果、共形幾何学の場合には一般の共形アインシュタイン構造において第二変分を求めることが可能だったが、CR幾何の場合にはそれに相当することは難しく、状況をより限定する必要があることがわかった。第二変分公式を求めることに相当する、CRオブストラクション・テンソルの第一変分を求める計算が、ハイゼンベルグ群におけるダイヴァージェンス・フリーな変分に対して完了した。この内容を含む論文を、発表に向けて現在準備中している。