非輪状複体の変形を用いたイデアル商の計算とその応用

R は非負整数で次数付けられた d 次元の可換な Cohen-Macaulay 環で 0 次斉次部分 R_0 はArtin局所環とする。本研究では R の斉次イデアル I のシンボリック冪 I^(n) を効率的に計算する方法を模索している。剰余環 R/I の次元が 1 で I を極小素因子で局所化したイデアルが正則列で生成される場合には、通常の冪乗 I^n を含んでいて、同時に I^(n) に含まれる斉次イデアル J で、R/J の depth が正であるものを見つけられれば、J = I^(n) を得る。従って、与えられたイデアル J に対して R/J の depth を計算することは重要である。以下では、R は R_0 上の代数として有限個の1次斉次元で生成されるとする。さらに J は R の斉次イデアルとし、剰余環 R/J の次元を r とする。これまでの研究成果により、0 以上 r 以下の自然数 i に対して r - i 個の 1 次斉次元 f_1, f_2, ... , f_{r - i} を「一般的」にとると、R/J の depth が r - i 以上になる為には、R/J と R/((f_1, ... , f_{r - i}) + J) の第 i ヒルベルト係数が一致することが必要十分であるという事が判明している。しかし、この判定法を適用するために選んだ r - i 個の１次斉次元が、必要な「一般性」をみたしているかどうかのチェックは、残念ながら容易ではない。そこで今年度の研究では、パラメータ系の一部分となる r - i 個の１次斉次元の組が自動的に「一般性」をもつ様にする為には、環 R と R/J にどのような条件を課せば良いかを調べ、満足できる結果を得ることができた。

R は非負整数で次数付けられた d 次元の可換な Cohen-Macaulay 環で 0 次斉次部分 R_0 はArtin局所環とする。本研究では R の斉次イデアル I のシンボリック冪 I^(n) を効率的に計算する方法を模索している。剰余環 R/I の次元が 1 で I を極小素因子で局所化したイデアルが正則列で生成される場合には、通常の冪乗 I^n を含んでいて、同時に I^(n) に含まれる斉次イデアル J で、R/J の depth が正であるものを見つけられれば、J = I^(n) を得る。従って、与えられたイデアル J に対して R/J の depth を計算することは重要である。以下では、R は R_0 上の代数として有限個の1次斉次元で生成されるとする。さらに J は R の斉次イデアルとし、剰余環 R/J の次元を r とする。これまでの研究成果により、0 以上 r 以下の自然数 i に対して r - i 個の 1 次斉次元 f_1, f_2, ... , f_{r - i} を「一般的」にとると、R/J の depth が r - i 以上になる為には、R/J と R/((f_1, ... , f_{r - i}) + J) の第 i ヒルベルト係数が一致することが必要十分であるという事が判明している。しかし、この判定法を適用するために選んだ r - i 個の１次斉次元が、必要な「一般性」をみたしているかどうかのチェックは、残念ながら容易ではない。そこで今年度の研究では、パラメータ系の一部分となる r - i 個の１次斉次元の組が自動的に「一般性」をもつ様にする為には、環 R と R/J にどのような条件を課せば良いかを調べ、満足できる結果を得ることができた。