幾何学的側面から見た次数付き環の研究

从几何角度研究有序环

• 批准号: 05740008
• 负责人: 西田 康二
• 金额: $ 0.51万
• 依托单位: Chiba University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1993
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1993 至 1994
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05740008/
• 关键词: 次数付き環; イデアル

可換なNoether環AのイデアルIから定まる次数付き環R(I)=【symmetry】_<n【greater than or equal】0>I^n,G(I)=【symmetry】_<n【greater than or equal】0>I^n/I^<n+1>はそれぞれIのRees環、associated graded ringと呼ばれ、幾何学的観点からみて、非常に重要な研究対象である。一般にRees環R(I)のふるまいは、それに対応するG(I)の性質によって概ね特徴付けられることが、これまでの研究によって明らかにされてきていることから、今回の私の研究では、associated gradedring G(I)の環論的性質を調べるための、実用的な判定条件を与えることを目標とした。以下にその主結果を述べる。可換な局所環(A,m)のイデイアルIにたいして、lambda(I)=dimA/m【cross product】_AG(I)と定義しlambda(I)をIのanalytic spread という。lambda(I)とht_AIの差ad(I)はIのanalytic diviation と呼ばれ、これはg(I)の解析の困難性を示すバロメーターとなる。私の研究は、1【less than or equal】n【less than or equal】ad(I)の範囲でI^nについての何らかの条件が与えられたときに、全てのn【greater than or equal】1にたいしてI^nの性質を明らかにし、そこからG(I)の情報を引き出そうとするもので、正確には次の様に述べられる定理 局所環AはCohen-MacaulayでIはそのイデアルとし、ht_AQ<lambda(I)なる全ての素イデアルQ⊇Iに対して、I_Qは高々 ht_AQ個の元で生成されるとする。さらに1【less than or equal】n【less than or equal】ad(I)の範囲でdepth(A/I^n)_Q【greater than or equal】min{ad(I)-n,ht(Q/I)-n}が成り立っていれば次の条件は同値である。(1)任意のn【greater than or equal】1に対してI^<(n)>=I^nとなる(2)全ての素イデアルQ⊇Iに対してlambda(I_Q)<dimA_Qとなる。(3)ht_AQ<lambda(I)なる素イデアルQ⊇Iに対してlambda(I_Q)<dimA_Qが成り立つ。ここでI^<(n)>はIのsymbolic powerといわれるもので、I^<(n)>={x 【not a member of】 A | rx 【not a member of】 I^nfor somer 【not a member of】 A＼⊂_<Q【not a member of】MinA A/I> Q}で定義される。実は、定理の条件(1)はG(I)が整域であるということと同値である(Hochster)。

It can be replaced by なNoether ring A デア デア デア I まる ら to determine まる order <s:1> ring R(I)=【symmetry】_<n【greater than or equal】0>I^n,G(I)=【symmetry】_<n【greater than or equal: 0>I^n/I^<n+1> それぞれ それぞれI <s:1> Rees ring, associated graded ringと hu ばれ, 観 point in geometry に らみて, very に important な research object である. General に Rees ring R (I) の ふ る ま い は, そ れ に 応 seaborne す る G (I) nature of の に よ っ て shall pay け ね te 徴 ら れ る こ と が, こ れ ま で の research に よ っ て Ming ら か に さ れ て き て い る こ と か ら, today back to の の private research で は, associated gradedring The properties of G(I) caryclic theory include を keys べるため <e:1>, practical な determination conditions を and える とを とを objectives と た た. The following にそ the main result を describes べる. Replaceable な bureau ring (A, m) の イ デ イ ア ル I に た い し て, lambda (I) = dimA/m product 】 【 cross _AG (I) と definition し lambda (I) を I の analytic spread と い う. Lambda (I) と ht_AI の bad AD (I) は I の analytic diviation と shout ば れ, こ れ は g (I) の parsing の difficulty を shown す バ ロ メ ー タ ー と な る. The private theorem studies 囲で, 1 [less than or equal] n [less than or equal] ad(I) the <s:1> norm 囲でI^nに に て て て て て ら ら <s:1> conditions が and えられたと に に, all て て n [greater than or Equal 】 1 に た い し て I ^ n の nature を Ming ら か に し, そ こ か ら G (I) の intelligence を lead き out そ う と す る も の で, correct に は times の others に above べ ら れ る theorem Bureau ring A は Cohen - Macaulay で I は そ の イ デ ア ル と し, ht_AQ < lambda (I) な る full て の element イ デ ア ル Q ⊇ I に し seaborne て, I_Q は high 々 ht_AQ A の yuan で generated さ れ る と す る. Youdaoplaceholder0 1【less than or equal】n【less than or equal】ad(I) <s:1> norm 囲でdepth(A/I^n)_Q【greater than or equal】min{ad(I)-n,ht(Q/I)-n}が forms って って れば れば times of <s:1> condition が equal value である. (1) any の n (greater than or equal 】 1 に し seaborne て I ^ < > (n) = I ^ n と な る (2) the whole て の element イ デ ア ル Q ⊇ I に し seaborne て lambda (I_Q) < dimA_Q と な る. (3) ht_AQ < lambda (I) な る element イ デ ア ル Q ⊇ I に し seaborne て lambda (I_Q) < dimA_Q が into り つ. Youdaoplaceholder0 でI^<(n)> われる I <s:1> symbolic powerと われる われる <s:1> で, I^<(n)>={x 【not a member of】 A/rx 【not a member of】 I^nfor somer 【not a member of】 A \ ⊂_<Q【not a member of of】MinA A/I> Q}で defines される. Theorem (1) とと G(I)が the entire field であると う う とと とと the same value である(Hochster).