Grothendieck群に値を持つ Hilbert関数の研究

本研究の目的は、可換なネーター環鳥R_0上の次数付き環R=Σ_<n【greater than or equal】0>R_nが与えられたときに、R_0上の有限生成加群のなすグロタンディーク群K_0(R_0)に値をもつヒルベルト関数H_R:Z→K_0(R_0)を定義し、R_0がアルティン環の場合に展開されていた従来の議論を一般化しようというもあてあった。勿論、H_Rはn∈Zに対してR_nをR_0加群と見たときの類[R_0]∈K_0(R_0)を対応させる。するとK_0(R_0)の元を係にもつベキ級数P(R,n):=H_R(n)t^n(tは不定元)が定まり、RがR_0上x_1,…,x_r(各x_iは斉次元でdegx_i=d_i)で生成されていればP(R,t)=(ξ_0+ξ_1t+…+ξ_st^s)II^r_<i=1>(1-t^<di>)(0【less than or equal】s∈Z,ξ_0,…,ξ_s∈K_0(R_0))という表示が可能である。従って特にd_1=…=d_r=1の場合にはn>>0に対してΣ^^n__<m=0>H_R(m)=Σ__i(^<n+i>_i)・e_iが成り立つ様にe_0,e_1,…∈K_0(R_0)をとれる。Rとして局所環AのイデアルIに附随する次数付き環G(I)をとって上記の議論を適用すれば、Iのanalytic spreadと呼ばれる不変量をlとしたとき、任意のi>lに対してe_i=0となること、さらにe_lが従来の重複度の概念を自然に一般化したものであることがわかった。又、この議論は、非可換な A-代数ΛでA上の加群として有限生成なものに対しても、AのイデアルIをとって関数Z→K_0(Λ/IΛ)(n→[I^nΛ/I^<n+1>Λ])を考えることにより拡張可能である。

本研究の目的は、可換なネーター環鳥R_0上の次数付き環R=Σ_<n【greater than or equal】0>R_nが与えられたときに、R_0上の有限生成加群のなすグロタンディーク群K_0(R_0)に値をもつヒルベルト関数H_R:Z→K_0(R_0)を定義し、R_0がアルティン環の場合に展開されていた従来の議論を一般化しようというもあてあった。勿論、H_Rはn∈Zに対してR_nをR_0加群と見たときの類[R_0]∈K_0(R_0)を対応させる。するとK_0(R_0)の元を係にもつベキ級数P(R,n):=H_R(n)t^n(tは不定元)が定まり、RがR_0上x_1,…,x_r(各x_iは斉次元でdegx_i=d_i)で生成されていればP(R,t)=(ξ_0+ξ_1t+…+ξ_st^s)II^r_<i=1>(1-t^<di>)(0【less than or equal】s∈Z,ξ_0,…,ξ_s∈K_0(R_0))という表示が可能である。従って特にd_1=…=d_r=1の場合にはn>>0に対してΣ^^n__<m=0>H_R(m)=Σ__i(^<n+i>_i)・e_iが成り立つ様にe_0,e_1,…∈K_0(R_0)をとれる。Rとして局所環AのイデアルIに附随する次数付き環G(I)をとって上記の議論を適用すれば、Iのanalytic spreadと呼ばれる不変量をlとしたとき、任意のi>lに対してe_i=0となること、さらにe_lが従来の重複度の概念を自然に一般化したものであることがわかった。又、この議論は、非可換な A-代数ΛでA上の加群として有限生成なものに対しても、AのイデアルIをとって関数Z→K_0(Λ/IΛ)(n→[I^nΛ/I^<n+1>Λ])を考えることにより拡張可能である。