pursuing global essences of manifolds with geometric structures via special surgeries

点击翻译按钮获取中文摘要

本研究の大きな目的は，幾何構造に関する大域的微分トポロジーの統一理論の創生を目指すことにある．本研究では特に，接触構造，Engel構造の一般化としてのGoursat構造に関する考察を目標としていた．感染症のまん延により進行が遅れたが，すでに期間を延長していることもあり，この方面での考察は進んできた．その意味で，小さな枠から大きな枠への展開の研究にも着手しつつある．2022年度に行った研究では，トーラス手術を用いたGoursat多様体の研究を行った．そして，様々なタイプの接分布構造の考察へ，ホモトピー原理の視点から研究への可能性を探り，その道具の考察を深めた．Goursat構造とは，多様体上の2次元の平面場で，Lieかっこ積をとることで次元が1ずつ増えて，その多様体の接束全体まで次元が上がるものである．とくに多様体が3次元の場合は接触構造であり，4次元のときにはEngel構造とよばれる．接触構造，Engel構造の研究は発展を続ける分野である．Goursat構造の研究は，大域的な幾何学としては今後の発展が重要であると期待される．本研究の手段の1つは，通常のハンドルと高次元トーラスとの積の形をした多重ラウンドハンドルをもちいた多重ラウンド手術である．特に，Goursat構造の柔軟性を実現する手術の考察を行った．これはまさに接触トポロジーに通じるものであることが分かった．また，Goursat構造の存在等に関して，国際共同研究を進めている．接触構造，Engel構造に関しては先行研究がある．本研究は，高階のGoursat構造の場合について考察をしていて，低次元へのフィードバックには，この分野の研究の重要な展開が期待できる．研究集会「Singularity of Differential Maps and its Applications」を，本研究費のサポートのもとに行った．