多様体上の接分布構造の微分トポロジー的研究とその応用

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多様体上の接分布構造を,微分トポロジー的な観点から研究しています.大域的または局所的,両方面からのアプローチを考えています.今年度は主に以下の二点について研究しました.一つは,偶接触構造に関する相対的なDarboux型定理についてです.もう一つは大域的なエンゲル構造に関するトポロジー確立への基礎的な研究です.偶接触構造に関する部分多様体に相対的なDarboux型定理の研究は,昨年度のエンゲル構造に関するものの延長上にあります.偶接触構造とは,偶数次元の多様体上の余次元が1の接分布構造で,最も積分不可能なものです.接触構造と比べ,1次元の構造を不変に保つ特性方向を持つことが異なります.一般論としては,偶数次元の多様体に埋め込まれた部分多様体に対して,単純な幾何的な制限は部分多様体にそった偶接触構造の芽を決定するには不十分で,代数的制限型の制限を決めれば芽は決定されます.さらに,どのような場合には幾何的な制限が偶接触構造の芽を決定するのに十分かを調べ始めました.まず部分多様体が余次元1の場合,そこへの偶接触構造の幾何的な制限は,ほとんどの場合,特異点を持った接触構造です.それらはMartinet, Zhiromirskii達によって分類されています.接触構造の次に単純なMartinet標準形の場合,偶接触構造の特性系と部分多様体の接触の次数を1に制限することによって幾何的制限で十分です.さらに,他の特異点,接触の次数へと研究を進行中です.大域的なエンゲルトポロジーへの基礎として,4次元多様体上の構造でエンゲル構造を生成するものを構成しました.これは,エンゲル構造がトポロジーの対象として扱いやすい他の構造と関係づけられれば,その構造の研究との相互作用により研究が進展することを目標としています.今回試している構造がよいものかどうかは,今後の研究課題です.