非線形シュレーディンガー方程式とネルソン拡散過程

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擬共形不変な非線形シュレーディンガー方程式の爆発解の漸近形と爆発速度との関係について引き続き研究を行った。いくつかの証明のギャップを修正し、結果は少し弱い形となったが当初目指した形で完成した。その際、ネルソン拡散過程が予想外に役立つことが分かったが、熊谷隆教授(京都大学)との議論はとても有用であった。爆発速度の重対数法則が成立するためには、極限形状がビームの集束に対応する特異点とは別に,肩と呼ばれる部分を持つことが「ほぼ必要」であり、そうでない場合、特異点はタウンズ型と呼ばれる形状とは異なるものになるらしいことが分かった。これらは数値実験や実際のレーザーの実験で確認されていることと一致する。11月の数理解析研究所で開催された研究集会において、非線形光学の問題意識と関連づけて、この成果を発表した。その内容は講究録に掲載される予定である(詳細な証明を記した論文も準備している)。また、12月の京大での国際研究集会でも同様の講演を行った。しかしながら、重対数法則の完全な証明には、まだ少しギャップが残っている。昨年度に引き続き,擬共形不変ではないが、優臨界指数を非線形項に持つシュレーディンガー方程式について赤堀公史助教(愛媛大学)との共同を続け、論文は間もなく投稿の予定である。さらにもっと一般の非線形項の場合への拡張にも取りかかった。ボース=アインシュタイン凝縮の基底状態に対応する解が2通りの不安定性(散乱と爆発)を示すことを証明したのだが、赤堀氏は、この結果を数理解析研究所の二つの国際研究集会の他、いくつかの研究者セミナーで報告した。これらの解の振る舞いと対応するネルソン拡散過程の性質が今後の課題となるが、上記の爆発解の重対数法則の証明に対して,鍵となる知見を得るきっかけともなった。