非線形シュレーディンガー方程式とネルソン拡散過程

非线性薛定谔方程和纳尔逊扩散过程

• 批准号: 19654026
• 负责人: 名和 範人
• 金额: $ 1.92万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
• 财政年份: 2007
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2007 至 2009
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-19654026/
• 关键词: シュレーディンガー方程式; 非線形光学; 爆発解; ネルソン拡散過程; 重対数法則; 特異点; 非線形散乱理論; ボース=アインシュタイン凝縮; 非線形散乱理; ボーズ=アインシュタイン凝縮; 非線形シュレーディンガー方程式; レーザービーム; 自己集束; 自己組織化

擬共形不変な非線形シュレーディンガー方程式の爆発解の漸近形と爆発速度との関係について引き続き研究を行った。いくつかの証明のギャップを修正し、結果は少し弱い形となったが当初目指した形で完成した。その際、ネルソン拡散過程が予想外に役立つことが分かったが、熊谷隆教授(京都大学)との議論はとても有用であった。爆発速度の重対数法則が成立するためには、極限形状がビームの集束に対応する特異点とは別に,肩と呼ばれる部分を持つことが「ほぼ必要」であり、そうでない場合、特異点はタウンズ型と呼ばれる形状とは異なるものになるらしいことが分かった。これらは数値実験や実際のレーザーの実験で確認されていることと一致する。11月の数理解析研究所で開催された研究集会において、非線形光学の問題意識と関連づけて、この成果を発表した。その内容は講究録に掲載される予定である(詳細な証明を記した論文も準備している)。また、12月の京大での国際研究集会でも同様の講演を行った。しかしながら、重対数法則の完全な証明には、まだ少しギャップが残っている。昨年度に引き続き,擬共形不変ではないが、優臨界指数を非線形項に持つシュレーディンガー方程式について赤堀公史助教(愛媛大学)との共同を続け、論文は間もなく投稿の予定である。さらにもっと一般の非線形項の場合への拡張にも取りかかった。ボース=アインシュタイン凝縮の基底状態に対応する解が2通りの不安定性(散乱と爆発)を示すことを証明したのだが、赤堀氏は、この結果を数理解析研究所の二つの国際研究集会の他、いくつかの研究者セミナーで報告した。これらの解の振る舞いと対応するネルソン拡散過程の性質が今後の課題となるが、上記の爆発解の重対数法則の証明に対して,鍵となる知見を得るきっかけともなった。

A study on the asymptotic shape of the explosion solution of quasi-conformal non-linear equations and the relationship between explosion velocity and explosion velocity is carried out. The proof is correct, and the result is weak. Professor Takashi Kumagani (Kyoto University) and Professor Takashi Kumaya (Kyoto University) The law of repetition of explosion velocity holds true. The limit shape holds true. This is the first time I've ever seen a person who's been in a relationship with someone else. November The Institute of Mathematical Analysis held a research conference on non-linear optics and problem awareness and correlation. The content of the paper is recorded in detail. In December 2010, the Beijing University International Research Conference held a lecture on the same topic. A complete proof of the law of number is not necessary. Last year's Quasi-Conformal Invariance, Optimal Critical Index, Non-linear Term, Sustained Critical Invariance Equation, Akahachi Assistant Professor (Ehime University), Common Invariance, Paper Invariance, and Submission Schedule. For general non-linear items, the number of lines in the line is not equal to the number of lines. The paper is presented at the International Research Conference of the Institute of Mathematical Analysis. The properties of the dispersion process of the solution are discussed in detail below.

项目成果

Blowup and scattering for the focsing nonlinear Schrodinger equation with L^2-supercritical and H^1-subcritical power

具有 L^2-超临界和 H^1-亚临界功率的聚焦非线性薛定谔方程的爆炸和散射

• 发表时间: 2010
• 期刊: 数理解析研究所講究録 (印刷中)
• 作者: T.Akahori;H.Nawa
• 通讯作者: H.Nawa

Some (possible) application of Nelson diffusions to nonlinear Schr\"odinger equations

纳尔逊扩散在非线性薛定格方程中的一些（可能的）应用

• 发表时间: 2007
• 作者: H. Aikawa;et. al.;名和 範人
• 通讯作者: 名和 範人