非線形シュレディンガー方程式とメソスコピック系

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本研究の大きな目標は『非線形シュレディンガー方程式の解のより精密な漸近挙動を調べる』事であり、それを通して“メソスコピック系"を数学的に解析する方法を模索することであった。3か年計画の第一年目として、本年度は次の二つの話題について成果を得た。(1)擬共形変換で不変な非線形シュレディンガー方程式の爆発解の爆発時刻付近のより詳しい漸近挙動。(2)メソスコピック系を扱う際に注目されている2+1時空のマックスウェル=シュレディンガー方程式と、その相対論的対応物であるマックスウェル=クライン=ゴルドン方程式の関係。(1)については、方程式が内包する変分構造に注目する事により、“特異点"のマクロ的な運動と“特異点"の外の爆発のオーダーの評価について、新しい情報を得ることができた。これにより、“マクロ的な部分"である“特異点"と、それ以外の部分である“ミクロ的な部分"との違いがはっきりとしてきた。(2)については、クライン=ゴルドン方程式に由来する1/(光速度)^2の方を特異摂動パラメーターとして考えることによって、方程式の解のレベルで、物理的議論の数学的正当化を行った。これは、非相対論的対応物のないマックスウェル方程式の方を扱う一つの見方として興味深いと思われる。これらの結果は、今、論文にまとめているところである。