点相互作用に従う1次元シュレディンガー作用素についての研究

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平成21年度は、周期的点相互作用に従う1次元シュレディンガー作用素の退化したスペクトラルギャップの同定問題について得られた結果を取り纏め,2編の論文を作成して研究成果の発表を行いました。本研究の主な目的は,周期的に配列された点相互作用に従う1次元シュレディンガー作用素のスペクトルのバンド構造を精密に解析する事です。バンド構造は周期ポテンシャルに従うシュレディンガー作用素のスペクトルが持つ特徴的な性質で,スペクトルが可算無限個の有界閉区間(バンド)の和集合として書き表されることを表しています。この時,連続する2つのバンドがスペクトラルギャップのよって隔てられている事は,対応するシュレディンガー方程式の解の性質に密接に関わってきます。そこで,退化したスペクトラルギャップの退化・非退化を特定する問題を考える事が重要となってきます。本研究では,退化したスペクトラルギャップの同定問題を,モノドロミー行列を解析する事で調べました。数学誌「Funkcialaj Ekvacioj」に掲載予定の論文では,基本周期内に一般点相互作用が2つある場合を取り扱い,退化したスペクトラルギャップが存在するか否かを決定付けました。数学誌「Journal of Mathematical Analysis and Applications」に掲載予定の論文では,特殊な点相互作用-δ^<(1)>型の点相互作用-に限定し,退化したスペクトラルギャップの存在と点相互作用の強さの関係について述べ,また存在する場合には退化したスペクトラルギャップの番号を特定しました。基本周期内に点相互作用が3つある場合には,モノドロミー行列が複雑である為に一般に解析が困難ですが,当該研究においてその第一歩を踏み出したと考える事が出来ます。今後は,この結果をさらに拡張する事ができると予測され,将来性のある解析手段を得たと考える事が出来ます。