周期的なシュレディンガー作用素のスペクトル解析

平成22年度は,周期的一般点相互作用に従う1次元シュレディンガー作用素の退化したスペクトラルギャップの同定問題についての研究を行いました。得られた結果は,2編の論文に取り纏め,研究成果の発表を行いました。当該研究の主な目的は,ポテンシャルが周期的な点相互作用を用いて表される1次元シュレディンガー作用素のスペクトルを解析することです。ポテンシャルの周期性により,そのスペクトルはバンド構造と呼ばれる構造を持ちます。これは,内点を共有しない可算無限個の有界閉集合の和集合として表現されることを意味しています。個々の有界閉集合はバンドと呼ばれ,連続する2つのバンドの隔たりはスペクトラルギャップと呼ばれます。基本周期内の点相互作用の個数や配列の間隔,点相互作用を定義する行列によって,スペクトラルギャップは空集合に退化する事があります。この時,スペクトラルギャップの退化点の値で対応するシュレディンガー方程式の解は周期的になります。このことから,退化したスペクトラルギャップの同定問題の解析は,シュレディンガー方程式の解の性質に密接に関連する問題となります。本年度は,数学誌「Funkcialaj Ekvacioj」において1編の論文を発表し,基本周期内の点相互作用の個数が2個の場合に当該問題を解決しました。その後,基本周期内のδ型点相互作用の個数が3個および4個の場合の結果を2編の論文として投稿しました。同定問題と密接に関連するモノドロミー行列に対して,3個の場合と4個の場合では異なる解析方法を用いました。特に,新たにモノドロミー行列の因数分解を用いて問題に取り組みました。この方法により,さらに回転行列で与えられる点相互作用が4個ある場合の結果も得られ,現在論文投稿の準備を行っています。この研究では,ちょうど2個の退化したスペクトラルギャップが存在する新しい例を結果として得る事ができました。

平成22年度は,周期的一般点相互作用に従う1次元シュレディンガー作用素の退化したスペクトラルギャップの同定問題についての研究を行いました。得られた結果は,2編の論文に取り纏め,研究成果の発表を行いました。当該研究の主な目的は,ポテンシャルが周期的な点相互作用を用いて表される1次元シュレディンガー作用素のスペクトルを解析することです。ポテンシャルの周期性により,そのスペクトルはバンド構造と呼ばれる構造を持ちます。これは,内点を共有しない可算無限個の有界閉集合の和集合として表現されることを意味しています。個々の有界閉集合はバンドと呼ばれ,連続する2つのバンドの隔たりはスペクトラルギャップと呼ばれます。基本周期内の点相互作用の個数や配列の間隔,点相互作用を定義する行列によって,スペクトラルギャップは空集合に退化する事があります。この時,スペクトラルギャップの退化点の値で対応するシュレディンガー方程式の解は周期的になります。このことから,退化したスペクトラルギャップの同定問題の解析は,シュレディンガー方程式の解の性質に密接に関連する問題となります。本年度は,数学誌「Funkcialaj Ekvacioj」において1編の論文を発表し,基本周期内の点相互作用の個数が2個の場合に当該問題を解決しました。その後,基本周期内のδ型点相互作用の個数が3個および4個の場合の結果を2編の論文として投稿しました。同定問題と密接に関連するモノドロミー行列に対して,3個の場合と4個の場合では異なる解析方法を用いました。特に,新たにモノドロミー行列の因数分解を用いて問題に取り組みました。この方法により,さらに回転行列で与えられる点相互作用が4個ある場合の結果も得られ,現在論文投稿の準備を行っています。この研究では,ちょうど2個の退化したスペクトラルギャップが存在する新しい例を結果として得る事ができました。