非線形微分方程式系の定性的理論に関する研究

非线性微分方程系统定性理论研究

• 批准号: 08J00124
• 负责人: 鬼塚 政一
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Shimane University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2008
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2008 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08J00124/
• 关键词: 漸近安定性; 一様漸近安定性; 定性的理論; 線形減衰振動子; 2次元常微分方程式系; リヤプノフ関数

平成20年度において、私が主として取り組んだテーマは変数係数をもつ減衰振動子及び2次元常微分方程式系の漸近安定性と一様漸近安定性の研究である。当該研究開始当初、半分線形微分方程式系の零解の漸近安定性について考察した。この方程式はp-ラプラシアン作用素と呼ばれる応用上重要な項をもち、線形微分方程式がもつ2つの性質のうち「解の定数倍が解になる」性質をもつ。しかしながら、「解の和が解になる」とは限らないことから、線形理論を使うことができない。本研究では、線形理論を用いることなく、ある特別なリヤプノフ関数を構成し、解のエネルギーの増減を厳密に解析することで、零解が漸近安定性であるための十分条件を与えた。上記の漸近安定性に関する研究を進展させるため、より臨界的な例を考えることが要求された。すなわち、漸近安定であるが一様漸近安定でない例が定理の良さを示すうえで必要であった。例を考察する過程において、コンピュータを使用した数値実験を行うことで、微分方程式の解の性質を予想することができた。この予想を基に、一様漸近安定でないための十分条件を与えることを研究目的とし変数変換とリヤプノフ関数を用いることで、証明を与えた。この成果との比較で、変数係数をもつ減衰振動子の零解が一様漸近安定であるための十分条件も考察し、新しい知見を得た。当該研究によって、2次元常微分方程式系における一様漸近安定性と漸近安定性の違いが明確となり、さらに半分線形微分方程式と線形微分方程式の解構造の類似性が明らかとなった。

在2008年，我创作的主要主题是研究具有二维普通微分方程的变速系数和系统的阻尼振荡器的渐近稳定性和均匀的渐近稳定性。研究开始后，我们讨论了在半线性微分方程系统中零溶液的渐近稳定性。该方程式具有一个最重要的术语，称为p-laplacian运算符，在线性微分方程的两个属性中，“解决方案的常数倍数变成溶液”。但是，无法使用线性理论，因为“解决方案的总和成为解决方案”。在这项研究中，在不使用线性理论的情况下，我们构建了一种特殊的Liyapunov函数，并严格分析溶液能量的增加或减少，为零溶液提供了足够的条件，即渐近稳定性。需要考虑更关键的例子，以推进上述渐近稳定性研究。也就是说，对于证明定理的良好性，必要渐近稳定但渐近稳定的例子是渐近稳定的。在考虑示例的过程中，我们能够通过使用计算机进行数值实验来预测差分方程的解决方案的性质。基于此预测，我们通过使用可变变换和Lyapunov函数来提供证据，以提供足够的条件，以实现均匀的渐近稳定性。与此结果相比，我们还检查了阻尼振荡器的零溶液的足够条件，其系数可变均匀地渐近稳定，并获得了新的发现。这项研究阐明了在普通微分方程的二维系统中均匀渐近稳定性和渐近稳定性之间的差异，并揭示了半线性微分方程和线性微分方程的溶液结构的相似性。

项目成果

Uniform asymptotic stability for time-varying second-order differential equations

时变二阶微分方程的一致渐近稳定性

• 发表时间: 2008
• 作者: J. Sugie;M. Onitsuka;M. Onitsuka
• 通讯作者: M. Onitsuka

Global asymptotic stability for half-linear differential systems with coefficients of indefinite sign

具有不定符号系数的半线性微分系统的全局渐近稳定性

• 发表时间: 2008
• 期刊: Archivum Mathematicum (Brno) 44
• 作者: J. Sugie;M. Onitsuka
• 通讯作者: M. Onitsuka