自由確率論におけるレヴィ過程の諸性質及び無限分解可能分布についての研究

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自由確率論における無限分解可能分布のなかで特に、半円分布に従う(非可換)確率変数とそれと自由独立な確率変数の積の無限分解可能性とその分布の時間発展についての研究を行った。さらに自由無限分解可能分布でその分布の台が正に集中しているものの研究を行った。これらの研究によりわかったことは前者の積の無限分解可能性が後者の分布の時間発展とその分布の台が集中しているか、ということに極めて緊密な関係があることが分かった。もっと具体的には前者の無限分解可能性の判定条件が後者により与えられる、ということが分かった。分布の時間発展によって分布の台が正に集中しなくなるような例が自由確率論では比較的簡単にできるが、そのような現象が起きると、前者の無限分解可能性が失われる、ということが分かった。また時間発展により台の正に集中することが失われるような分布に従う確率変数は自身と独立なコピーの積が無限分解可能にならないこと例ができることが分かった。この研究は今まで自由独立な確率変数の和の無限分解可能性の研究が当該の分野ではほとんどであったが、積や分布の時間発展を考えることによって通常の確率論では見られないような自由確率論独自の性質を見出すことができた。これは今後自由独立性の特徴をさらに精密に見出すきっかけになると思われる。この研究は今後他の独立性に基づく非可換確率論などの研究においても同様の研究を行うことで自由確率論や通常の確率論との違いを探す一つの観点になると思われる。