等質多様体の射影幾何学的研究と接束による特徴付け

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本年度は特殊な多様体で覆われる射影多様体の構造研究を行った.一般に,部分多様体の構造はそれを含む多様体の構造へ大きな影響を与えることが知られており,多くの研究者により研究されてきた.例えば,次元の大きい線型空間や2次多様体により覆われる多様体の構造は,佐藤榮一氏,可知靖之氏,M.C.Beltrametti氏,P.Ionescu氏等により研究された.それらを踏まえた上で,余次元の小さい次数3の多様体で覆われる多様体の構造研究を行い,その構造を決定した.その結果の応用として非特異3次超曲面の射影幾何学的な特徴付けを得た.また,この結果を得る過程において,部分多様体としての線型多様体に関するC.Novelli氏とG.Occhetta氏のquestionに対する否定的な解答を与えた,この結果を論文にまとめ現在学術誌へ投稿中である.上記研究と過去に研究を行っていた等質多様体を豊富な因子として含む偏極多様体の分類問題に関連して,余次元1かつピカール数1の有理等質多様体で覆われる多様体の構造研究も行い、分類結果を得た.この結果をまとめた論文"Classification of embedded projective manifolds swept out by rational homogeneous varieties of codimension one"はPacific Journal of Mathematicsへの掲載が決定している.これらの一連の研究は,有理曲線の変形理論と森理論,Zak氏による射影幾何学の研究結果を用いている.特に、上記問題のどちらの場合も、多様体上に次元の大きな有理曲線族が存在することが重要であり、その条件から与えられた有理曲線族を潰すファイブレーションを構成することが証明の重要なステップである.また,昨年得た有理曲線に関する研究結果をまとめた論文"Lengths of chains of minimal rational curves on Fano manifolds"がJournal of Algebraから出版された.