ファノ多様体とその上の有理曲線の幾何学

点击翻译按钮获取中文摘要

研究課題に沿って,ファノ多様体上の有理曲線の研究,特に,Campana-Peternell予想に関する研究を行った.ここで,Campana-Peternell予想とは,「ネフな接束を持つファノ多様体Xは有理等質多様体である」という予想である.この予想は森重文氏により解決された豊富な接束をもつ多様体に関するハーツホーン予想の一般化であり,Xの次元が4以下であるときに成り立つことが知られている.4次元以下で最も難しい場合は,Xがピカール数1の4次元ファノ多様体で反標準次数が3となる有理曲線を含む場合である.この場合は,J.M.Hwang氏とN.Mok氏により解決された.今年度の研究成果として,Hwang-Mokの結果の一般化を与えたことが挙げられる.実際,ピカール数1の複素射影多様体上のP1束のうち,(P1束に付随する自然な射影とは異なる)相対次元1の滑らかな射を持つようなものを分類した.分類結果により,上記の仮定を満たすP1束は3次元以上では3種類しかないことが分かる.さらにそれらはA2型,B2型もしくはG2型の旗多様体であり,特に全て有理等質多様体である.この結果の系としてHwang-Mokの結果を得ることが出来る.また,この結果はMunoz,Occhetta,Sola Conde三氏の結果の一般化も与えている.他方,Campana-Peternell予想の具体的な場合の研究も行った.具体的には,Xを直線で覆われるように射影空間に埋め込むことが可能で,尚かつファノ指数が大きい場合にCampana-Peternell予想を考えた.このとき,X上の直線のヒルベルトスキームとその普遍族の性質を調べた.こちらに関しては,現在も引き続き研究を行っている.