埋め込みの空間、微分同相群の分類空間の位相幾何学

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多様体の微分同相群の(有理)ホモトピー群の構造を決定するという目的に対し、「研究実施計画」では、多様体族のMorse理論(多様体上の滑らかな関数の臨界点の様子から、多様体の情報を引き出す枠組み)を用いて、微分同相群のホモトピー群の構造を研究すること、特にホモトピー群を生成する情報を離散的なデータで完全に記述することを計画した。これに対し、次の結果を得ることができた。1.深谷氏のMorseホモトピー理論(多様体上の複数の関数を同時に考え、それに伴うグラフ上のフローを数えることにより、3次元多様体の不変量を構成する枠組み)の適当な高次元化を与え、多様体族(あるいはファイバー束)の不変量である特性類を構成した。これは上記の目的に直接有効な結果というわけではないが、深谷氏の不変量が摂動的Chern-Simons理論の不変量(Witten不変量の「摂動展開」)に一致しているとの予想の高次元版:Kontsevichの「摂動的」特性類と我々のMorseホモトピー理論的特性類が一致する、が正しければ、Morse理論及びMorseホモトピー理論によって実に豊富な情報を捕まえることができる事が示され、Morse理論によるアプローチの有効性が示されることになる。2.1の結果を踏まえ、実際に5次元球面の微分同相群の基本群(π1(Diff(S^5))の構造を、Morse理論を使って研究した。具体的には、π1(Diff(S^5))=π2(BDiffS^5))の「非線形部分」(臨界値のグラフが自明になるような関数族が取れる元のなす部分群)が、いくつかの2次元球面の枠付埋め込みの空間のπ2で生成されることを示した。埋め込みの空間の有理ホモトピー群の計算はホモトピー論の問題であり、Goodwillie-Weiss等により計算の枠組みが提案されている。π1(Diff(S^5))を特徴付ける完全な関係式を与えることは今後の課題である。