リー環とその自己同型から構成される拡大アフィンリー環の表現論の研究

Weyl加群は拡大アフィンリー環の表現の中でも特に重要な加群である。しかしながらWeyl加群は拡大アフィンリー環のもっとも簡単な例であるアフィンリー環に関するものでさえも、わかっていないことが数多くあった。アフィンリー環がADE型の場合には、FourierとLittelmannによりWeyl加群がDemazure加群と同型となることが知られており、その意味で構造はある程度分かっていた。しかしながらBCFG型に対してこれは正しくなく、構造はよく分からないままであった。私はこの型の場合にWeyl加群にDemazure加群によるfiltrationが入ることを示すとともにその重複度を決定した。これによりWeyl加群の構造はかなりよく分かったことになる。また、Weyl加群と有限クリスタルの間の非常に興味深い関係についても考察を行った。この結果、有名なX=M予想に対し部分的な解決を与えるに至った。またADE型の場合にWeyl加群とDemazure加群が同型であるという性質を用いてWeyl加群がrigidである、すなわち最短の半単純filtrationが一意である、という性質を示した。また、Weyl加群は箙多様体から幾何的に構成される標準加群と同型であることが知られているが、このときそれぞれに与えられるgradingが同型を通して一致することをWeyl加群がrigidであることの帰結として示した。この結果から箙多様体のPoincare多項式をクリスタルの言葉で記述できた。これらアフィンリー環のWeyl加群に関する結果は、拡大アフィンリー環のWeyl加群を調べる足掛かりになると期待している。

Weyl加群は拡大アフィンリー環の表現の中でも特に重要な加群である。しかしながらWeyl加群は拡大アフィンリー環のもっとも簡単な例であるアフィンリー環に関するものでさえも、わかっていないことが数多くあった。アフィンリー環がADE型の場合には、FourierとLittelmannによりWeyl加群がDemazure加群と同型となることが知られており、その意味で構造はある程度分かっていた。しかしながらBCFG型に対してこれは正しくなく、構造はよく分からないままであった。私はこの型の場合にWeyl加群にDemazure加群によるfiltrationが入ることを示すとともにその重複度を決定した。これによりWeyl加群の構造はかなりよく分かったことになる。また、Weyl加群と有限クリスタルの間の非常に興味深い関係についても考察を行った。この結果、有名なX=M予想に対し部分的な解決を与えるに至った。またADE型の場合にWeyl加群とDemazure加群が同型であるという性質を用いてWeyl加群がrigidである、すなわち最短の半単純filtrationが一意である、という性質を示した。また、Weyl加群は箙多様体から幾何的に構成される標準加群と同型であることが知られているが、このときそれぞれに与えられるgradingが同型を通して一致することをWeyl加群がrigidであることの帰結として示した。この結果から箙多様体のPoincare多項式をクリスタルの言葉で記述できた。これらアフィンリー環のWeyl加群に関する結果は、拡大アフィンリー環のWeyl加群を調べる足掛かりになると期待している。