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アファイン量子展開環の結晶基底

仿射量子膨胀环的晶体基础

基本信息

批准号：
10J03892
负责人：
小寺諒介
金额：
$ 0.9万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2010
资助国家：
日本
起止时间：
2010 至 2011
项目状态：
已结题

项目摘要

1.アファイン量子展開環の有限次元既約表現の間の拡大の研究を行った.$U_q(\hat{\mathfrak{sl}}_2)$の場合に,あるクラスの既約表現の1次のExt群について,昨年度の結果に帰着することでその次元を求めた.昨年度に比べればかなり広いクラスに対して1次のExt群が計算できたことになるが,完全解決には至っていない.また,既約表現の自己拡大の1次のExt群の次元が,その表現をテンソル積に関して素因子分解した際の素因子の数に一致すると予想し,ある仮定の下では証明を与えた.これは最近のChari-Moura-Youngの結果に触発されたもので,その精密化を与えている.これまでの研究に基づき,$U_q(\hat{\mathfrak{sl}}_2)$の場合に一般の有限次元既約表現の1次のExt群に対してその次元に関する予想を定式化した.また,これまでに得られた結果について以下の研究集会およびセミナーで口頭発表を行った.第14回代数群と量子群の表現論研究集会(香川県,2011年6月)Infinite Analysis 11(東京大学,2011年7月,ポスター発表)表現論セミナー(数理解析研究所,2012年2月)代数セミナー(パリ,2012年3月)2.箙多様体とエネルギー函数との関係についての研究を行った.昨年度の研究により,ADE型箙多様体のPoincare多項式が,アファイン量子展開環の基本表現のテンソル積の結晶基底とその上のエネルギー函数を用いて表示できることがわかっていた.このことは,基本表現のテンソル積の結晶基底を箙多様体を用いて構成できる可能性を示唆している.今年度はこの観察に基づき,エネルギー函数を箙多様体を用いて直接的に表示することを試みた.残念ながらこれらの問題を今年度中に解決することはできなかったため,将来の課題としたい.

1. Research on Finite Dimensional Reductions of Quantum Expansion Rings U_q(\hat{\mathfrak{sl}}_2)$In this case, the result of the previous year is the result of the first order of Ext group. Last year, the number of cases was increased to 1, and the number of cases was increased to 1. In this paper, we prove that the expression of the first order Ext group is consistent with the expression of the first order Ext group. This is the latest Chari-Moura-Young result. In this paper, we study the basic theory,$U_q(\hat{\mathfrak{sl}}_2)$, and formalize the general finite dimensional reduction expression of the first order Ext group. The following research meetings were conducted orally. The 14th Session of the Representation Theory Research Conference on Algebra Groups and Quantum Groups (Kagawa, June 2011)Infinite Analysis 11(University of Tokyo, July 2011) Representation Theory (Institute of Mathematical Analysis, February 2012) Algebra (Parry, March 2012)2. The Poincare polynomials of ADE type polyhedra are expressed in terms of the fundamental behavior of quantum expansion rings, the crystal base of the product, and the upper generation function. The basic behavior of the crystal substrate is shown by the possibility of using the crystal substrate to form a multi-layer structure. This year's survey is based on the analysis of the number of samples, and the number of samples. We will solve these problems in the middle of this year and discuss future issues.