偏微分方程式の逆問題の再構成手続きに関する研究

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偏微分方程式の逆問題に取り組む際には,しばしばそれぞれの方程式に対応する基本解の評価が必要となる.この基本解の評価に関する研究は,偏微分方程式の逆問題に限らず,偏微分方程式の基本的な問題の一つでもある.介在物を同定・再構成する逆問題の場合,扱う方程式の係数は不連続となるが,一般のL^∞関数を扱う必要はなく,区分的に滑らかな係数を扱えば十分であることが多い.一方で.楕円型方程式の場合,係数を一般のL^∞関数にすると,対応する方程式の解は必ずしもC^<0,1>級の滑らかさを持たないが,係数を区分的に滑らかな関数に限れば,対応する方程式の解は少なくともC^<0,1>級の滑らかさを持つことが知られている(後者はLi-VogeliusやLi-Nirenbergの結果である).そこで,放物型方程式に対しても同様の考察を試みた.そして,「Li-VogeliusやLi-Nirenbergの結果の放物型方程式版」に相当する結果を得ることができた.即ち,区分的に滑らかな係数を持つ放物型方程式の解も,少なくともC^<0,1>級の滑らかさを持つことを示すことができた.又,基本解の各点勾配評価に関して,昨年度は空間が3種類の媒質からなる層状の媒体で埋められている場合の放物型方程式の基本解の各点勾配評価を導き,特に,その評価に現れる定数が層の幅に依らずにとることができることを示した.ところが,今年度は「Li-VogeliusやLi-Nirenbergの結果の放物型方程式版」を得ることができたので,この定理を応用することにより,3層に限らず,より一般の区分的に滑らかな係数を持つ放物型方程式の基本解の上からの各点勾配評価を導くことができた.今後は,基本解の下からの各点勾配評価やある種の漸近形,そして介在物同士が接近していく際の解の漸近形を求める必要があると考えている.