差集合族に基づく最適組合せ符号の構成および存在性の解明と多重アクセス通信への応用

本年,私は,多重アクセス通信における種々の通信方式に応じた組合せ符号の構成法の提示・存在性の解明と関連する差集合族の構成問題について,組合せ論的立場から研究を行った.1.先行研究で有限幾何を用いた最適光直交符号の様々な構成法が提案されているが,その中でも,シュタイナーシステムと呼ばれる組合せデザインを含む「良い」光直交符号に着目し,新たな構成法の提案を行った.構成法の流れは,良い性質を持つ既存の最適光直交符号を部分群に制限し,符号語重みが可変な光直交符号を構成し,符号語から重み一定となるよう元を取り除き,重み一定の光直交符号を得るというものである.また,重みの下限の計算では,有限体の乗法群の指数の高い部分群のコセット交差数の問題として定式化し,有限体のヤコビ和等を用い計算した.この結果は,新しい最適光直交符号の構成法を与えるとともに,指標論の新たな応用を発見したという点で重要である.2.金沢大学の山田美枝子教授と,[Szekeres,1969]の差集合族の構成法の一般化とそのアダマール行列への応用について共同研究を行った.Szekeresは,有限体の平方元の集合がなすPaley型の差集合を変形させることで,有限体の乗法部分群上で差集合族が得られることを示した.我々はその結果を一般の可換環上の差集合へ拡張を試み,可換環上のある条件を満たす差集合から,ある変形法を用いて,その単数群の部分群上で分割可能な差集合族が得られるための十分条件を与えた.特に,標数4のガロア環の加群上の既存のアダマール型差集合から,その単数群上の新たな分割可能な差集合族が得られることを示した.また,分割可能な差集合族を用いた対称的アダマール行列の構成法を与えた.この結果は,新しい分割可能な差集合族の構成法を与えるとともに,アダマール行列と差集合族との新たな関係性を見出したという点で重要である.

本年,私は,多重アクセス通信における種々の通信方式に応じた組合せ符号の構成法の提示・存在性の解明と関連する差集合族の構成問題について,組合せ論的立場から研究を行った.1.先行研究で有限幾何を用いた最適光直交符号の様々な構成法が提案されているが,その中でも,シュタイナーシステムと呼ばれる組合せデザインを含む「良い」光直交符号に着目し,新たな構成法の提案を行った.構成法の流れは,良い性質を持つ既存の最適光直交符号を部分群に制限し,符号語重みが可変な光直交符号を構成し,符号語から重み一定となるよう元を取り除き,重み一定の光直交符号を得るというものである.また,重みの下限の計算では,有限体の乗法群の指数の高い部分群のコセット交差数の問題として定式化し,有限体のヤコビ和等を用い計算した.この結果は,新しい最適光直交符号の構成法を与えるとともに,指標論の新たな応用を発見したという点で重要である.2.金沢大学の山田美枝子教授と,[Szekeres,1969]の差集合族の構成法の一般化とそのアダマール行列への応用について共同研究を行った.Szekeresは,有限体の平方元の集合がなすPaley型の差集合を変形させることで,有限体の乗法部分群上で差集合族が得られることを示した.我々はその結果を一般の可換環上の差集合へ拡張を試み,可換環上のある条件を満たす差集合から,ある変形法を用いて,その単数群の部分群上で分割可能な差集合族が得られるための十分条件を与えた.特に,標数4のガロア環の加群上の既存のアダマール型差集合から,その単数群上の新たな分割可能な差集合族が得られることを示した.また,分割可能な差集合族を用いた対称的アダマール行列の構成法を与えた.この結果は,新しい分割可能な差集合族の構成法を与えるとともに,アダマール行列と差集合族との新たな関係性を見出したという点で重要である.