Constructive research towards solving the existence problem on Hadamard matrices

解决Hadamard矩阵存在性问题的建设性研究

• 批准号: 20K03719
• 负责人: 籾原 幸二
• 金额: $ 2.41万
• 依托单位: Kumamoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03719/
• 关键词: アダマール行列; 強正則グラフ; アソシエーションスキーム; 差集合族; 自己双対符号; 歪みアダマール行列; D-最適性; 2-交差集合; 差集合; 均整アダマール行列

本年度は, 既存の均整アダマール行列を, アソシエーションスキーム等の良いグラフ分解を用いて分解・拡大・結合し, サイズの大きなアダマール行列を構成するための理論的枠組みを構築することであった. 本年度の研究では, Leung-Momihara (2020)で得られた非均整アダマール行列の例を一般化し, 一般の倍率でChen(1997)の均整アダマール行列を拡大するための手法を与えることができた. 現在は, 更なる一般化が可能であるか模索中である. 一方, 本研究手法を応用して, 高い行列式値を持つ(1,-1)-正方行列の構成問題に取り組んだ. 特に, アダマール行列を生成する差集合族から2つのブロックのみを選択し, 構造を修正することで, 高い行列式値を持つ(1,-1)-正方行列の無限族を作ることに成功した. この結果は, 既に須田氏, Xiang氏との共著論文として国際学術誌に採択された.また, Nebe-Viller (2013)によって発見された3元自己双対符号の系列について, その符号が有限体の4乗剰余から得られるある差集合族から作られるアダマール行列によって生成されていることを証明した. また, 符号の長さが60の場合に, 重み60の符号語集合内にさらに非同型なアダマール行列が存在していることを確認した. この結果は, 新谷氏, 原田氏との共著の論文として国際学術誌に採択された.その他, Turyn(1984), Chen(1997), Polhill(2010)によるPaley型のアダマール行列の合成的構成法を, 強正則グラフの構成法として一般化した研究成果について, 国際研究集会にてオンラインで招待講演を行った. また, 明治大学にてアダマール行列とその応用分野で研究している研究者を集め, 須田氏, 佐竹氏とともに研究集会を主催した.

今年，我们决定使用良好的图形分解（例如关联方案）分解，扩展和组合现有的对称Hadamard矩阵，以构建大型的Hadamard矩阵。在今年的研究中，我们概括了在Leung-Momihara（2020）中获得的非对称Hadamard矩阵的例子，并提供了一种以一般放大倍率扩展Chen（1997）对称的Hadamard矩阵的方法。目前，我们目前正在寻找进一步的概括。同时，我们应用了这种研究方法来解决构建具有高确定性值的（1，-1）-square矩阵的问题。特别是，通过仅从生成Hadamard矩阵并修改结构的“差异集”系列中选择两个块，我们成功地创建了一个（1，-1）-Square矩阵的无限族，具有较高的确定性值。该结果已经在国际杂志上作为与苏丹和徐的共同作品的论文采用。此外，对于由Nebe-Viller（2013）发现的三向自动偶数代码的序列，它已证明该代码是由从有限领域的第四位余量中获得的差异族的Hadamard矩阵生成的。此外，当代码长度为60时，在代码字套件中，重量为60的无定形矩阵就会有更多的无定形矩阵。该结果在国际日记中被作为与Shintani和Harada共同撰写的论文。其他，Turyn（1984），Chen（1997），在国际研究会议上进行了在线讲座，该会议在一项关于Polhill（2010）的paley型Hadamard Matrix合成结构的概括的结果上，是一种构建强常规图的方法。此外，研究Hadamard Matrix及其应用领域的研究人员聚集在Meiji大学，研究人员与Suda和Satake一起组织。

项目成果

New constructions of strongly regular Cayley graphs on abelian non p-groups

阿贝尔非 p 群上强正则凯莱图的新构造

• DOI: 10.1016/j.jcta.2021.105514
• 发表时间: 2021
• 期刊: Journal of Combinatorial Theory, Series A
• 作者: Chen Yan-Yu;Ninomiya Hirokazu;Wu Chang-Hong;Kolar Miroslav and Yazaki Shigetoshi;Takashi Muto;Momihara Koji
• 通讯作者: Momihara Koji

Cyclic arcs of Singer type and strongly regular Cayley graphs over finite fields

• DOI: 10.1016/j.ffa.2021.101953
• 发表时间: 2021-10
• 期刊: Finite Fields Their Appl.
• 作者: K. Momihara;Qing Xiang

National University of Singapore/Division of Natural Science(シンガポール)

新加坡国立大学/自然科学系（新加坡）

南方科技大学(中国)

南方科技大学（中国）

Powers of Gauss sums in quadratic fields

• DOI: 10.1016/j.jnt.2021.08.015
• 发表时间: 2020-11
• 期刊: Journal of Number Theory
• 影响因子: 0.7
• 作者: K. Momihara