非線形拡散方程式の大域解の分類

本年度は非線形境界条件を持つ線形熱方程式の漸近挙動の分類と移流拡散方程式の漸近挙動を中心に研究を行い,以下の成果を得た.1.消散エントロピー法が半空間における非線形境界条件付き熱方程式に対して適用できる事を示し,漸近形への収束評価を改善した.2.半空間における非線形境界条件付き熱方程式の解の時間大域挙動を空間遠方で指数減衰する初期条件の下で分類し,さらにこの条件の下で最適な収束評価を得た.まず1.についてはこれまで全空間や保存系に対してのみ適用されてきた消散エントロピー法が全空間以外の領域に対しても有効である事を示した初めての結果である.これによりこれまでよりも詳細な漸近挙動を得る事ができたとともに,非線形性の影響に対する今後の改善点を示唆する結果を得る事ができた.一方で全空間の半線形熱方程式に対する結果と合わせて考察することにより,ここで得られた非線形性の影響は手法独自の問題により最適でない事がわかる.そのための2.では初期値により強い条件を課した中で最適な評価を得る事を目標とし,実際に最適な評価を得るとともに本年度の目標の一つである大域解の分類を行った.ここでは全空間の半線形熱方程式のエネルギー法をもとにエネルギー汎関数を構成し,考察した.その際,正則性定理が必要になるがここではそれも含めて証明を与えている.これら2点については既に論文として掲載されている.また移流拡散方程式やKeller-Segel方程式系を含む一般化された非線形熱方程式(系)に対しては,既に目標としたモーメントの有界性と解の減衰評価の関係,さらに解の漸近形の高次展開に対して一定の結果を得ており,現在投稿準備中である.

本年度は非線形境界条件を持つ線形熱方程式の漸近挙動の分類と移流拡散方程式の漸近挙動を中心に研究を行い,以下の成果を得た.1.消散エントロピー法が半空間における非線形境界条件付き熱方程式に対して適用できる事を示し,漸近形への収束評価を改善した.2.半空間における非線形境界条件付き熱方程式の解の時間大域挙動を空間遠方で指数減衰する初期条件の下で分類し,さらにこの条件の下で最適な収束評価を得た.まず1.についてはこれまで全空間や保存系に対してのみ適用されてきた消散エントロピー法が全空間以外の領域に対しても有効である事を示した初めての結果である.これによりこれまでよりも詳細な漸近挙動を得る事ができたとともに,非線形性の影響に対する今後の改善点を示唆する結果を得る事ができた.一方で全空間の半線形熱方程式に対する結果と合わせて考察することにより,ここで得られた非線形性の影響は手法独自の問題により最適でない事がわかる.そのための2.では初期値により強い条件を課した中で最適な評価を得る事を目標とし,実際に最適な評価を得るとともに本年度の目標の一つである大域解の分類を行った.ここでは全空間の半線形熱方程式のエネルギー法をもとにエネルギー汎関数を構成し,考察した.その際,正則性定理が必要になるがここではそれも含めて証明を与えている.これら2点については既に論文として掲載されている.また移流拡散方程式やKeller-Segel方程式系を含む一般化された非線形熱方程式(系)に対しては,既に目標としたモーメントの有界性と解の減衰評価の関係,さらに解の漸近形の高次展開に対して一定の結果を得ており,現在投稿準備中である.