動的境界条件を有する拡散方程式の非線形問題への展開

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今年度は半空間における動的境界条件を有する熱方程式の可解性について、基本解の構成を目指すという観点から改良を行なった。本研究は東京大学の石毛和弘氏とコメニウス大学の Marek Fila 氏と行なってきた動的境界条件に関する一連の共同研究の継続研究にあたるものであり、今回も共同で行なった。これまで本問題に対しては、初期値が境界上及び内部で有界である場合についてのみ扱われており、その場合については有界な解が構成できることが示されていた。一方、基本解を構成するにあたっては、初期値の有界性は仮定できず、初期値の空間及びそれに付随した解の空間について進展が待たれていた。ここでは、境界上の初期条件は恒等的にゼロである場合に限定するものの、内部の初期条件が適当な重み付き空間に属する場合に、より広いクラスに属する解の可解性を得ることができた。この問題における本質的な問題点は、境界上と内部それぞれにある時間発展を内部の方程式に押し付ける際に非線形項に現れる時刻に関する特異性であるが、ここでは半空間における動的境界条件の特徴の一つである、半直線方向と時間方向の関係性に着目することで、半直線方向に関する重み付き空間を導入することで上記の問題点を解消することができた。本研究成果により本問題の可解性についての進展が得られたとともに、基本解の構成について大きな示唆が得られたと言える。この結果についてはすでに論文として現在投稿中である。