完全WKB解析の基礎付け及び応用

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1、(一次元)定常Schroedinger方程式のうち、Whittaker方程式(一つの単純変わり点と一つの単純極を持つ。)について、積分表示解と(ある正規化の)WKB解(のBorel和)の対応を考察し、パラメータの値が特別な場合については、一昨年に調べたWeber方程式と同様に簡単な関係が付き、それを用いてWKB解のBorel変換を調べられることが分かった。これによってWKB解のBorel変換のendless continuability等が確かめられる。一般の方程式でこの性質を示すことは、完全WKB解析とresurgence theoryの狭間で重要な問題である。従って簡単な方程式で確かめておくことは基本的である。また、一般の方程式をWKB解析的な変換(2、を参照)を通じて解析する際、一般の方程式をWeber方程式やWhittaker方程式といった方程式にある意味で帰着させるのだが、その際にWeber方程式やWhittaker方程式のWKB解のBorel変換についてよく理解しておく.ことは重要と思われる。2、昨年度より引き続いて、(いわゆる動かない特異点に関係する)WKB解析的変換のBorel総和可能性を考察していた。特に、鍵になると思われる、WKB解のBorel変換のある種の増大度に関する補題の証明を試みていた。(昨年度までに、Weber方程式(二つの単純変わり点を持つ方程式の標準形)やWhittaker方程式(一つの単純変わり点と一つの単純極を持つ方程式の標準形)への変換の場合にはできており、Legendre方程式(二つの単純極を持つ方程式の標準形)への変換の場合にできていなかった。)この問題について、目的の成果を得るまでには至らなかったが、証明のための、有力と思われる一つの方針を見つけることができた。(ただし、まだ確認中で、可否はまだ不明。)動かない特異点に関係するWKB解析的変換のBorel総和可能性が分かると、すでに知られている、いわゆる動く特異点に関係するWKB解析的変換のBorel総和可能性と合わせて、WKB解のBorel変換のendless continuability等が(原理的には)(WKB解析的変換論の観点から)分かることになると思われ、重要である。