分岐パターンのもつ階層性の解析

本研究では、様々な分岐パターンの性質を数理的に記述・定量化する手法の確立および発展を目指している。主として確率論や離散数学を用い、本質を損なわずできるだけ厳密な情報が得られるモデル化に取り組んでいる。今年度は分岐パターンを土台とした物理現象として、特に破壊過程に着目して研究を行なった。単純には、破壊とは1つの物体が複数個の破片に"分岐"していく過程である。それぞれの破片は2つずつに壊れていき、一定の確率で"破壊の停止"が起こるという条件を加えたモデルを考察した。このモデルでは破片のサイズ分布を厳密に計算することができ、それがベキ的な分布となる。破片サイズがベキ分布にしたがうことは数多くの実験でみられる特徴であり、本モデルではシンプルな設定のもとで破片のベキ分布を厳密に導出することができた。なお、分岐構造のみを考えると、このモデルはゴルトン・ワトソン分枝過程という古典的な確率過程に分類される。破片の長さという量を付加することで自明でないベキ分布を得ることができた。破壊現象は確率的な現象である。これに対し、"デザインされた破壊現象"に相当するのが折り紙である。折り紙でも、紙を折っていくことで複数の領域に分かれていき、分割の過程を木構造で表すことができる。折り紙の分岐パターンを調べる前段階として、まず分割された各領域のサイズ分布を調べた。破壊現象にみられるベキ分布ではなく、折り紙におけるサイズ分布はおおむね対数正規分布にしたがうことが明らかになった。対数正規分布は、過去の履歴が掛け算で作用している状況で一般的に現れることが知られているが、折り紙では"折り重ね"のために対数正規性が現れていると予想し、これを確認するために1次元的な折り紙のモデルを構築した。

本研究では、様々な分岐パターンの性質を数理的に記述・定量化する手法の確立および発展を目指している。主として確率論や離散数学を用い、本質を損なわずできるだけ厳密な情報が得られるモデル化に取り組んでいる。今年度は分岐パターンを土台とした物理現象として、特に破壊過程に着目して研究を行なった。単純には、破壊とは1つの物体が複数個の破片に"分岐"していく過程である。それぞれの破片は2つずつに壊れていき、一定の確率で"破壊の停止"が起こるという条件を加えたモデルを考察した。このモデルでは破片のサイズ分布を厳密に計算することができ、それがベキ的な分布となる。破片サイズがベキ分布にしたがうことは数多くの実験でみられる特徴であり、本モデルではシンプルな設定のもとで破片のベキ分布を厳密に導出することができた。なお、分岐構造のみを考えると、このモデルはゴルトン・ワトソン分枝過程という古典的な確率過程に分類される。破片の長さという量を付加することで自明でないベキ分布を得ることができた。破壊現象は確率的な現象である。これに対し、"デザインされた破壊現象"に相当するのが折り紙である。折り紙でも、紙を折っていくことで複数の領域に分かれていき、分割の過程を木構造で表すことができる。折り紙の分岐パターンを調べる前段階として、まず分割された各領域のサイズ分布を調べた。破壊現象にみられるベキ分布ではなく、折り紙におけるサイズ分布はおおむね対数正規分布にしたがうことが明らかになった。対数正規分布は、過去の履歴が掛け算で作用している状況で一般的に現れることが知られているが、折り紙では"折り重ね"のために対数正規性が現れていると予想し、これを確認するために1次元的な折り紙のモデルを構築した。