量子ループ代数の表現論と箙多様体の幾何学

前年度に得た，レベル1 Fock空間へのヤンギアン作用に関する結果を論文にまとめ，arXivで公開した．この論文を雑誌に投稿し，現在査読中である．今年度は，高レベルFock空間へのヤンギアン作用について考察した．Uglovによって構成されていた高レベルFock空間への有限型ヤンギアンの作用が，アファインヤンギアンの作用に拡張されることを証明した．レベル1 Fock空間の場合は，先に述べた私の論文によってアファインA型箙多様体の同変ホモロジー群との関係がわかっている．高レベルの場合には，レベル1 Fock空間のテンソル積を介して箙多様体との関係を理解できるのではないかと期待している．そこでレベル1 Fock空間のテンソル積について，Guayによって定義されたアファインヤンギアンの余積を用いて計算を行ったが，27年度中に成果を得るには至らなかった．また，Braverman-Finkelberg-中島の定義したCoulomb枝について，受入研究者である中島啓氏との共同研究を行った．Coulomb枝は元々物理学者が導入し，研究がなされていたが，最近になり数学的に厳密な定義が与えられた．Coulomb枝はある可換代数のSpecとして定義され，自然な量子化を持つ．Jordan箙に付随するCoulomb枝はBraverman-Finkelberg-中島によって決定され，その量子化はcyclotomic有理Cherednik代数のspherical部分代数であると予想されていた．私は，cyclotomic有理Cherednik代数のspherical部分代数を差分作用素によって実現し，この代数の生成元の具体的な表示を計算した．この結果とBraverman-Finkelberg-中島によって得られていた量子Coulomb枝の局所化の式とを比較することで，両代数の間の具体的な同型を構成した．

前年度に得た，レベル1 Fock空間へのヤンギアン作用に関する結果を論文にまとめ，arXivで公開した．この論文を雑誌に投稿し，現在査読中である．今年度は，高レベルFock空間へのヤンギアン作用について考察した．Uglovによって構成されていた高レベルFock空間への有限型ヤンギアンの作用が，アファインヤンギアンの作用に拡張されることを証明した．レベル1 Fock空間の場合は，先に述べた私の論文によってアファインA型箙多様体の同変ホモロジー群との関係がわかっている．高レベルの場合には，レベル1 Fock空間のテンソル積を介して箙多様体との関係を理解できるのではないかと期待している．そこでレベル1 Fock空間のテンソル積について，Guayによって定義されたアファインヤンギアンの余積を用いて計算を行ったが，27年度中に成果を得るには至らなかった．また，Braverman-Finkelberg-中島の定義したCoulomb枝について，受入研究者である中島啓氏との共同研究を行った．Coulomb枝は元々物理学者が導入し，研究がなされていたが，最近になり数学的に厳密な定義が与えられた．Coulomb枝はある可換代数のSpecとして定義され，自然な量子化を持つ．Jordan箙に付随するCoulomb枝はBraverman-Finkelberg-中島によって決定され，その量子化はcyclotomic有理Cherednik代数のspherical部分代数であると予想されていた．私は，cyclotomic有理Cherednik代数のspherical部分代数を差分作用素によって実現し，この代数の生成元の具体的な表示を計算した．この結果とBraverman-Finkelberg-中島によって得られていた量子Coulomb枝の局所化の式とを比較することで，両代数の間の具体的な同型を構成した．