Space-time-finite elements for two-phase models based on the theory of porous media

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In die Klasse der fluidgesättigten porösen Festkörpermaterialien fallen künstliche Materialien wie Schäume aber auch natürliche Materialien wie Böden oder biologische Gewebe. Die makroskopische Modellierung von Mehrphasen-Materialien soll hier im Rahmen der thermodynamisch abgesicherten Theorie poröser Medien erfolgen. Das resultierende System von partiellen gekoppelten differential-algebraischen Gleichungen besteht aus der Impulsbilanz der Mischung, der Impulsbilanz des Porenfluids und der Massenbilanz der Fluids, die sich im Fall inkompressibler Konstituierenden zu einer Volumenbilanz reduziert. Neben ersten und zweiten Ortsableitungen treten in den Gleichungen auch erste und zweite Zeitableitungen auf. Die Volumenbilanz stellt sogar eine algebraische Nebenbedingung dar. Damit ist es notwendig, ein geeignetes Diskretisierungsverfahren zu entwickeln, das mit gekoppelten Gleichungen unterschiedlicher Ordnungen in Raum und Zeit umgehen kann. Einen allgemeinen Zugang zu dieser Problematik findet man mit gekoppelten Raum-Zeit-Finiten-Elementen, die sich aus einer konsequenten Anwendung des Galerkin-Verfahrens sowohl im Raum als auch in der Zeit motivieren lassen. Durch die Wahl unterschiedlicher Ansatz- und Testfunktionen lassen sich im Rahmen dieser Verfahren die Anforderungen, die durch die unterschiedlichen Gleichungen des Mehrphasenmodells gestellt werden, in einer einheitlichen Betrachtungsweise erfüllen, insbesondere kann durch spezielle Wahl der Ansatz- und Testfunktionen die üblicherweise verwendete Linienmethode (Diskretisierung im Ort mit Finiten Elementen, in der Zeit mit Differenzenverfahren) durch das Galerkin-Verfahren wiedergegeben werden.