Khovanov-Lauda-Rouquier代数の表現論の研究

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Affine Lie型の基本表現から定まる巡回箙ヘッケ代数(箙ヘッケ代数はKhovanov-Lauda-Rouquier代数とも呼ばれる)を考える。これは対称群に付随する古典的なヘッケ代数のブロック代数の一般化であるが、この代数に対して次元や表現型を決定できる枠組みを発見し、A^<(2)>_<21>型の基本表現から定まる箙ヘッケ代数に対して具体的に実行した。箙ヘッケ代数は、最高重み可積分加群の圏化を代数的に実現するために導入された代数であり、現在さかんに研究されている。その目的のひとつは研究代表者が1990年代半ばに巡回ヘッケ代数を用いてA^<(1)>_<e-1>型Lie代数の可積分加群の圏化を行った研究の任意のLie型への一般化である。しかし、これらの巡回箙ヘッケ代数についてはほぼ何もわかっておらず、代数の次元もわからない、既約表現の構成も有限型を除けばわからない、というのが現状である。この現状ではAffine Lie型に注目し、とくに古典的なヘッケ代数のブロック代数の自然な一般化である上記巡回箙ヘッケ代数に注目するのが適切であり、本研究では、ソリトン理論に現れるFock空間の理論を援用し、また現在までに得られている可積分加群の圏化理論(Chuang-Rouquier,Kang-Kashiwara)と有限次元代数の表現論とあわせることにより、次元公式や表現型を与えることができることを示した。A^<(2)>_<21>型の場合、shifted Young diagramの組合せ論の言葉で次元が記述でき、また表現型は、A^<(1)>_<e-1>型の場合のe-weightの自然な一般化を用いて簡明に記述できる。これはErdmann-Nakanoによる対称群に付随するヘッケ代数の場合の結果を圏化理論の枠組で一般化したものであり、一般のAffine Lie型に適用できるので、とくにErdmann-Nakanoの結果の別証明を与えることもできる。この結果は下記で公開済みである。Susumu Ariki and Euiyong Park, Representation type of finite quiver Hecke algebras of type A^<(2)>_<21>),arXiv : 1208.0889.また、Parkはその他にもいくつかの結果を得ている。これについては学会発表欄参照のこと。