巨大基数の公理 : 相対無矛盾性と基数不変量

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平成25年度は、巨大基数の公理や、これらの公理の集合論の他の原理との相互関係や、これらの公理の純粋数学のいくつかの分野への応用について共同研究を行った。特に、平成23年度や平成24年度の研究を継続することで、反復強制法や組合せ論的集合論などの集合論の最先端の技法を用いて、巨大墓数に対する基数不変量や巨大基数の公理の代数的位相幾何学への応用をより深く調べた。また、基数不変量と計算可能性理論における高度性質の間の類似や、無限組合せ論におけるランダムグラフの一般化という二つのトピックについての新しい研究に着手した。このトピックにおいて得られた研究実積の概要は下記通りである。1. Cardiml invariants and highness properties. 外国人特別研究員と受入研究者は、Selwyn Ng(南洋理工大学)とAndré Nies(オークランド大学)とCichonの図表に現れる連続体の基数不変量とチューリング次数における高度性質(highness properties)の間の類似についての共同研究を行った。例えば、この図表の左下の三つの具なる基数不変量unbounding number、痩イデアルの加法性と零イデアルの加法性に対応する概念highness、meager engulfingとSchnorr engulfingが同値であることが明らかになった。2. The infinito random simplicial complex. 外国人特別研究員はDamiano Testa(ウォーリック大学)との共同研究で、ランダムグラフの一般化である、全ての有限次元な面をランダムに付け加えることによって構成されている、有限な単体的複体のFraissé極限である無限ランダム単体的複体(infinite random simplicial complex)を調べた。例えば、この構造を記述するモデル理論的なコンテキストが無限言語を必要とするが、有限言語に対するFraissé極限の周知の性質が成り立つことを証明した。