結晶成長現象とハミルトン・ヤコビ方程式

晶体生长现象和 Hamilton-Jacobi 方程

基本信息

批准号：
11J04365
负责人：
浜向直
金额：
$ 1.22万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2013
项目状态：
已结题

项目摘要

平成25年度は、ハミルトン・ヤコビ方程式に対する等高而法の改良について研究した。等高面法は、結晶表面などに代表される曲面(界面)の運動を追跡するための技法で、各時刻における曲面をある補助関数のゼロ等高面として表示し, その補助関数に対する偏微分方程式(等高面方税式)を解くことで曲面の動きを求める。しかし時間が経つにつれて解の傾きが小さくなることがあり, このとき計算機では等高面を正確に取り出せなくなるという問題がある。そこで、元の等高面方程式を適当に修正することで、傾きが小さくならない解を得ることを目的に研究を行った。界面への符号付き距離関数は傾きが1であるという事実に着目し、1 : 符号付き距離関数との比較、2 : 符号付き距離関数への収束、という二つのアプローチに基づいて修正方程式を導入した。以下にその内容と成果を述べる。1 : 界面運動が滑らかであると仮定し、その界面への符号付き距離関数が満たす方程式をテイラー展開して得られる方程式を修正方程式として採用した。そして、初期値が初期界面付近で符号付き距離関数に等しいとき、初期値問題の粘性解が時間大域的にも符号付き距離関数に十分近いことを、比較定理を用いて証明した。2 : 元の等高面方程式に、解の傾きを1に補正する効果を持つ項を付け加えた方程式を修正方程式として採用した。そして、補正項の係数であるパラメータを無限大にしたときに、初期値問題の粘性解が界面への符号付き距離関数へと収束することを証明した。また、この修正力程式は、元の等高面方程式と、時間微分が補正項に等しいという方程式とを交互に解く操作を考えたときに、その時間幅を0にしたときの極限を考えることで得られることも明らかにした。これは、時間に関しての均質化理論の応用として示される。この二つの方程式を解く時間比が、修正方程式のパラメータとして現れることも分かった。

2013年，我们研究了汉密尔顿 - 雅各布方程的轮廓方法的改进。轮廓表面方法是一种用于跟踪弯曲表面（界面）的运动的技术，例如晶体表面，其中每次表面显示为某个辅助功能的零轮廓表面，并且通过求解副函数的部分辅助函数（Countour Surface税收方程）来确定表面的运动。但是，溶液的倾斜度可能会随着时间的推移而减小，此时，计算机无法准确提取轮廓表面。因此，进行研究的目的是通过适当修改原始轮廓表面方程来获得无法减少斜率的解决方案。关注签名的距离函数到接口的斜率为1的事实，我们基于两种方法引入了一个修改的方程：1：与签名距离函数进行比较，2：收敛到签名的距离函数。内容和结果在下面说明。 1：假设界面运动是平滑的，则通过签名距离函数满足该界面的方程获得的方程式被用作修饰方程。然后使用比较定理证明，当初始值等于初始接口附近的签名距离函数时，初始值问题的粘性解决方案在时间和全球范围内足够接近签名的距离函数。 2：采用了修改的方程式作为原始的轮廓平面方程，该方程添加了一个术语，其效果将解决方案的斜率纠正为1。已证明，当校正术语系数的参数（将校正术语的系数）变成Infinite时，初始值问题的粘性解决方案将初始值问题转换为签名距离函数，将其转换为接口函数。还揭示了该校正功率方程可通过考虑限制在考虑操作交替求解原始轮廓平面方程以及时间差异等于校正项的方程时将时间宽度设置为零时获得的。这是在时间上的同质化理论的应用。还发现，求解这两个方程的时间比是修改方程的参数。