粘性解理論とその材料科学分野への応用

非線形偏微分方程式、特に材料科学の分野に現れる、物質の異なる二相を隔てる曲面である界面の運動を記述する方程式を、微分方程式の弱解の概念の一つである粘性解の理論を用いて調べている。解の一意性や存在性、また解の漸近挙動などの諸性質を調べることで、それらの方程式に数学的基礎付けを与えることを目的としている。平成２６年度の主な研究内容は以下の通りである。１：非強圧なハミルトン・ヤコビ方程式に対する均質化問題を考える際に現れる、セル問題の可解性について調べた。均質化とはマクロな問題をミクロな問題の極限として理解する手法であり、数学的には微分方程式に対するある種の特異極限問題として記述される。古典的にはハミルトニアンが強圧的ならばセル問題の可解性が知られているが、非強圧な場合は一般に可解ではない。そこで本研究では、非強圧なハミルトニアンに対する適当な近似を考えることで、一般化された実効ハミルトニアンの概念を導入し、それを用いてセル問題の可解性を特徴付けた。また均質化が起きるための十分条件をいくつか与えた。２：グラフで表すことができない界面の運動を追跡するための手法として知られる、等高面法の改良について研究した。従来の等高面法では、時間が経つにつれて解の傾きが小さくなる場合があり、計算機では等高面を取り出すことが困難になるという実用上の問題がある。この解決のため、元の等高面方程式にパラメータを含む修正項を加えた新しい方程式を導入し、パラメータの極限を取ったときの解の挙動、特に界面への（符号付き）距離関数への収束を調べた。距離関数が連続な場合は、解が時空の両変数に関して距離関数に局所一様収束していくことを、緩和極限の手法を用いて証明した。一方で距離関数が連続でない場合は、局所一様収束は期待できないが、時間変数に関する極限を前の時間からだけ取れば、解が距離関数に収束することを示した。

非線形偏微分方程式、特に材料科学の分野に現れる、物質の異なる二相を隔てる曲面である界面の運動を記述する方程式を、微分方程式の弱解の概念の一つである粘性解の理論を用いて調べている。解の一意性や存在性、また解の漸近挙動などの諸性質を調べることで、それらの方程式に数学的基礎付けを与えることを目的としている。平成２６年度の主な研究内容は以下の通りである。１：非強圧なハミルトン・ヤコビ方程式に対する均質化問題を考える際に現れる、セル問題の可解性について調べた。均質化とはマクロな問題をミクロな問題の極限として理解する手法であり、数学的には微分方程式に対するある種の特異極限問題として記述される。古典的にはハミルトニアンが強圧的ならばセル問題の可解性が知られているが、非強圧な場合は一般に可解ではない。そこで本研究では、非強圧なハミルトニアンに対する適当な近似を考えることで、一般化された実効ハミルトニアンの概念を導入し、それを用いてセル問題の可解性を特徴付けた。また均質化が起きるための十分条件をいくつか与えた。２：グラフで表すことができない界面の運動を追跡するための手法として知られる、等高面法の改良について研究した。従来の等高面法では、時間が経つにつれて解の傾きが小さくなる場合があり、計算機では等高面を取り出すことが困難になるという実用上の問題がある。この解決のため、元の等高面方程式にパラメータを含む修正項を加えた新しい方程式を導入し、パラメータの極限を取ったときの解の挙動、特に界面への（符号付き）距離関数への収束を調べた。距離関数が連続な場合は、解が時空の両変数に関して距離関数に局所一様収束していくことを、緩和極限の手法を用いて証明した。一方で距離関数が連続でない場合は、局所一様収束は期待できないが、時間変数に関する極限を前の時間からだけ取れば、解が距離関数に収束することを示した。