粘性解理論とその材料科学分野への応用

粘性溶液理论及其在材料科学领域的应用

• 批准号: 14J30001
• 负责人: 浜向 直
• 金额: $ 1万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2014
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2014-04-25 至 2015-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14J30001/
• 关键词: 粘性解; ハミルトン・ヤコビ方程式; 結晶成長現象; 均質化問題; セル問題; 等高面法

非線形偏微分方程式、特に材料科学の分野に現れる、物質の異なる二相を隔てる曲面である界面の運動を記述する方程式を、微分方程式の弱解の概念の一つである粘性解の理論を用いて調べている。解の一意性や存在性、また解の漸近挙動などの諸性質を調べることで、それらの方程式に数学的基礎付けを与えることを目的としている。平成２６年度の主な研究内容は以下の通りである。１：非強圧なハミルトン・ヤコビ方程式に対する均質化問題を考える際に現れる、セル問題の可解性について調べた。均質化とはマクロな問題をミクロな問題の極限として理解する手法であり、数学的には微分方程式に対するある種の特異極限問題として記述される。古典的にはハミルトニアンが強圧的ならばセル問題の可解性が知られているが、非強圧な場合は一般に可解ではない。そこで本研究では、非強圧なハミルトニアンに対する適当な近似を考えることで、一般化された実効ハミルトニアンの概念を導入し、それを用いてセル問題の可解性を特徴付けた。また均質化が起きるための十分条件をいくつか与えた。２：グラフで表すことができない界面の運動を追跡するための手法として知られる、等高面法の改良について研究した。従来の等高面法では、時間が経つにつれて解の傾きが小さくなる場合があり、計算機では等高面を取り出すことが困難になるという実用上の問題がある。この解決のため、元の等高面方程式にパラメータを含む修正項を加えた新しい方程式を導入し、パラメータの極限を取ったときの解の挙動、特に界面への（符号付き）距離関数への収束を調べた。距離関数が連続な場合は、解が時空の両変数に関して距離関数に局所一様収束していくことを、緩和極限の手法を用いて証明した。一方で距離関数が連続でない場合は、局所一様収束は期待できないが、時間変数に関する極限を前の時間からだけ取れば、解が距離関数に収束することを示した。

非线性偏微分方程，尤其是出现在材料科学领域的那些方程，这些方程描述了界面的运动，即界面的运动是分隔两个不同阶段的表面，它是使用粘性溶液的理论研究的，这是弱解的概念对微分方程。目的是通过检查解决方案的独特性和存在以及解决方案的渐近行为来为这些方程提供数学基础。 2014财年的主要研究内容如下。 1：我们研究了考虑非汉密尔顿 - 雅各布方程的同质化问题时出现的细胞问题的溶解度。均质化是一种理解宏问题作为微问题的限制的方法，并且在数学上被描述为微分方程的一定奇异极限问题。从经典上讲，如果哈密顿量是一种强压的哈密顿量，则众所周知可以解决细胞问题，但是如果它是一种非压力，则通常无法解决。因此，在这项研究中，通过考虑对非汉密尔顿人的适当近似，我们介绍了有效的哈密顿量的广义概念，并将其用于表征细胞问题的求解性。同样，给出了一些足够的条件以允许发生同质化。 2：我们研究了对轮廓表面方法的改进，该方法被称为一种用于跟踪无法以图形表示的接口运动的技术。在常规的轮廓表面方法中，溶液的倾向可能会随着时间的推移而减少，并且存在一个实际问题，因为很难用计算机提取轮廓表面。为了解决此问题，引入了一个新方程，其中包括一个包含参数的修改项，以包括原始的轮廓表面方程，并在采用参数的限制时检查了解决方案的行为，尤其是收敛到（签名的）距离函数到界面。使用弛豫极限技术证明，当距离函数连续时，解决方案在两个时空变量的距离函数上均匀收敛。另一方面，如果距离函数不是连续的，则无法期望局部均匀收敛，但是如果从前时间获取时间变量的极限，则表明该解决方案会收敛到距离函数。

项目成果

不連続なソース項を持つハミルトン・ヤコビ方程式に対する粘性解理論とその解の長時間挙動

具有不连续源项和解的长期行为的 Hamilton-Jacobi 方程的粘性解理论

• 发表时间: 2014
• 作者: Mukai H.;Hironaka M.;Tojo S. and Nomakuchi S.;浜向 直;浜向 直;向井裕美;向井裕美;浜向 直
• 通讯作者: 浜向 直

結晶成長現象とハミルトン・ヤコビ方程式―微分方程式の微分できない解―（ポスター発表）

晶体生长现象和 Hamilton-Jacobi 方程 - 微分方程的不可微解 -（海报演示）

• 发表时间: 2014
• 作者: Mukai H.;Hironaka M.;Tojo S. and Nomakuchi S.;浜向 直
• 通讯作者: 浜向 直

格子構造上の等周不等式

晶格结构上的等周不等式

• 发表时间: 2014
• 作者: 飯間麻美;デニスルビアン ;片岡正子 ,富樫かおり;浜向 直
• 通讯作者: 浜向 直

An improved level set method based on comparison with a signed distance function

一种基于与有符号距离函数比较的改进水平集方法

• 发表时间: 2014
• 作者: Yamashita;M.;& Yamamoto;T.;Nao HAMAMUKI
• 通讯作者: Nao HAMAMUKI

Harnack inequalities for supersolutions of fully nonlinear elliptic difference and differential equations

全非线性椭圆差分和微分方程超解的 Harnack 不等式

• 发表时间: 2015
• 作者: Yamashita;M.;& Yamamoto;T.;浜向 直
• 通讯作者: 浜向 直