Surface evolution equations with singular structure and boundary value problems

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非線形放物型偏微分方程式の初期値問題や、その解の定常状態を記述する非線形楕円型方程式の境界値問題の数学解析が主な研究内容である。典型的な方程式として、形の動きを記述する様々な界面発展方程式を考える。微分方程式の弱解の一つである粘性解の理論に基づいて、一意可解性や解の挙動といった諸性質を調べることが目的である。令和４年度は、次のことを研究した。（１）石の摩耗過程を記述する非局所ガウス曲率流方程式の解の待ち時間効果：海底や川底を転がる石の形状が、どのように変化するかという問題を考える。石が非凸な場合、この現象を記述する非局所ガウス曲率流方程式が石井-三上（2001,2004）によって導入され、粘性解の一意存在性が確立されている。本研究ではその解の挙動について調べた。特に、直観的に正しいと思われる、石のへこんだ部分はしばらく削れない、すなわち解の待ち時間効果が起きるという事実を、粘性解の比較定理と安定性、および凸解析のいくつかの定理を応用して証明した。本研究は、髙橋怜甫氏との共同研究である。（２）非線形楕円型固有値問題の固有値の下からの評価：有界凸領域における楕円型固有値問題を、斉次ディリクレ境界条件の下で考える。この境界値問題の固有値に対する下からの評価を導いた。固有値評価の鍵となったのは、対数凹関数に対するGagliardo-Nirenberg型の不等式である。まずこの不等式を、対数凹関数のエントロピーを評価する方法で導いた。その導出のために、対数型ソボレフの不等式を用いた。そして境界値問題の（粘性）解に対して、領域上で適当な部分積分をした後にこのGagliardo-Nirenberg型の不等式を用いることで、固有値の評価を導いた。本研究は、藤田安啓氏、五十嵐蓮氏との共同研究である。