Surface evolution equations with singular structure and boundary value problems

具有奇异结构和边值问题的表面演化方程

基本信息

批准号：
19K14564
负责人：
浜向直
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Hokkaido University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

非線形放物型偏微分方程式の初期値問題や、その解の定常状態を記述する非線形楕円型方程式の境界値問題の数学解析が主な研究内容である。典型的な方程式として、形の動きを記述する様々な界面発展方程式を考える。微分方程式の弱解の一つである粘性解の理論に基づいて、一意可解性や解の挙動といった諸性質を調べることが目的である。令和４年度は、次のことを研究した。（１）石の摩耗過程を記述する非局所ガウス曲率流方程式の解の待ち時間効果：海底や川底を転がる石の形状が、どのように変化するかという問題を考える。石が非凸な場合、この現象を記述する非局所ガウス曲率流方程式が石井-三上（2001,2004）によって導入され、粘性解の一意存在性が確立されている。本研究ではその解の挙動について調べた。特に、直観的に正しいと思われる、石のへこんだ部分はしばらく削れない、すなわち解の待ち時間効果が起きるという事実を、粘性解の比較定理と安定性、および凸解析のいくつかの定理を応用して証明した。本研究は、髙橋怜甫氏との共同研究である。（２）非線形楕円型固有値問題の固有値の下からの評価：有界凸領域における楕円型固有値問題を、斉次ディリクレ境界条件の下で考える。この境界値問題の固有値に対する下からの評価を導いた。固有値評価の鍵となったのは、対数凹関数に対するGagliardo-Nirenberg型の不等式である。まずこの不等式を、対数凹関数のエントロピーを評価する方法で導いた。その導出のために、対数型ソボレフの不等式を用いた。そして境界値問題の（粘性）解に対して、領域上で適当な部分積分をした後にこのGagliardo-Nirenberg型の不等式を用いることで、固有値の評価を導いた。本研究は、藤田安啓氏、五十嵐蓮氏との共同研究である。

主要的研究主题包括对非线性抛物线偏微分方程的初始值问题的数学分析以及描述其解决方案稳态状态的非线性椭圆方程的边界价值问题。作为典型的方程式，请考虑描述形状运动的各种界面演化方程。目的是根据粘性溶液理论研究各种特性，例如独特的溶解度和溶液行为，这是微分方程的弱解。在2022年，我们研究了以下内容：（1）溶液对非局部高斯曲率流动方程的潜伏效应，描述了石头的磨损过程：考虑海底或河床上石头形状滚动的问题的问题。当石头是非凸的时，Ishii-Mikami（2001，2004）引入了描述这种现象的非本地高斯曲率流动方程，确立了粘性溶液的独特存在。这项研究研究了解决方案的行为。特别是，我们证明了这样一个事实，即无法使用粘性溶液和稳定性的比较定理以及几种convex分析的定理来应用溶液的延迟效应，即溶液的潜伏效应。这项研究是高桥Reiho的联合研究项目。（2）从特征值下方评估非线性椭圆特征值问题：考虑在对称的dirichlet边界条件下，考虑有界凸区域中的椭圆特征值问题。得出了该边界价值问题特征值的底部评估。特征值评估的关键是Gagliardo-Nirenberg类型的对数凹面功能的不平等。首先，通过评估对数凹函数的熵来得出这种不平等。为了推导，使用了对数Sobolev不等式。然后，对于边界值问题的（粘性）解，在对区域进行适当的部分集成后，通过使用此Gagliardo-Nirenberg型不平等得出了特征值的评估。这项研究是与Fujita Yasuhiro和Igarashi Ren的联合研究。