正則モース不等式とコホモロジーの漸近挙動の研究

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本研究の目的は,複素射影多様体上の正則直線束のコホモロジーとその直線束の曲率との関係を明らかにすることであった.昨年度は,直線束の幕に関するコホモロジーの漸近的な消滅定理(Serre,Andreotti-Grauert型の消滅定理)について詳しく研究した.本年度は,より精密な随伴東に対するコホモロジー消滅定理(小平,川又-Viehweg,Nadel型の消滅定理)を研究した.具体的には,最小特異計量に付随する乗数イデアル層付きのNadel型の消滅定理が成立するかを研究した.この問題は,乗数イデアル層の上半連続化の挙動についてのDemailly-Kollarの予想と関係が深く,重要である.また,最小特異計量の乗数イデアル層の代数的な対応物である漸近的な乗数イデアル層に対しては,消滅定理が確立されていることを考えると,その複素解析版を問うこの問題は代数幾何と複素幾何の差を調べる点でも大変意義のあるものである.研究成果として,特異計量の滑らかさの仮定の下でNadel型の消滅定理を証明した.その証明の過程で,Kollar,榎の単射性定理を乗数イデアル付きの定理へと一般化した.その後に,コホモロジーの漸近的な消滅定理を応用した.この証明法は従来の消滅定理の証明と比べて,優位な点がある.例えば,単射性定理の証明は調和積分論に基づいており,多様体の射影性の仮定は必要ない.コホモロジーの漸近的な消滅定理を射影性の仮定を外して証明できれば,ケーラー多様体上で,随伴東に対するコホモロジー消滅定理が証明できる.ケーラー多様体上でのコホモロジー消滅定理は最近までほとんど知られておらず,この方針でケーラー多様体上での消滅定理を調べることは価値がある.