アレクサンドロフ空間の収束理論と無限次元アレクサンドロフ空間の幾何学

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当該年度は以下の結果を得た. 以下で, アレクサンドロフ空間は有限次元とする.京都大学の山口孝男氏との共同研究において, アレクサンドロフ空間は, 任意に小さいサイズの良い被覆を持ち, その被覆の脈複体はもとの空間にホモトピー同値である事を証明した. ここでいう「良い被覆」とは, それから有限個の集合を選んだ時, その共通部分は空でなければ, 任意の二点を結ぶすべての測地線がそこに含まれるという意味で凸かつ, リプシッツ可縮かつ, 錘に同相なものを指し, 多様体や位相空間の文脈での良い被覆のアレクサンドロフ空間版と言える. 任意のアレクサンドロフ空間の各点のまわりの小さな距離球は, 中心点にリプシッツ可縮である事を前年度に証明したが, 今年度はこの大域版を証明した: 一点からの距離関数が, その点を中心とするある半径の距離球の中で, 中心点を除いて正則ならば, その半径を持った距離球が中心点へリプシッツ可縮である. この証明法は, 一点からの距離関数のみならず一般の semiconcave 関数へと拡張でき, その応用として, ある崩壊しないクラスのアレクサンドロフ空間のモジュライに対して, 良い被覆はある意味で安定である事を証明した.単独の結果として, 以下を得た. アレクサンドロフ空間は, 位相多様体でもなければ, (コ)ホモロジー多様体でもない. しかしながら, いくつかの文献では, それぞれの目的に応じて, 向きの概念が独立に定義されていた. 私は, 更にいくつかの妥当な向きの概念を設けて, すべての概念が同値である事を証明した. 本研究によって, 考えるべき問題がいくつか生じたので, 今後の発展が期待される.