無重複表現とリー群の分解に関する研究

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本年度は複素球多様体への可視的な作用の抽象的な扱いについて研究した。可視的作用の分類理論については、以下のような結果が知られている。・エルミート型対称空間に対する、対称部分群による強可視的作用の存在(小林俊行氏、2007年)。・A型一般旗多様体に対する、レビ部分群による強可視的作用の分類(小林氏、2007年)。・線型空間に対する、コンパクトリー群による強可視的作用の分類(笹木集夢氏、2009年, 2011年)。・非チューブ型エルミート対称空間上の1次元複素球面束、4-対称球多様体、8元数の幾何に関係する球多様体等に対する、コンパクト実形による強可視的作用の存在(笹木氏、2010年, 2011年)。対称空間の場合を除き、作用の可視性の証明は各論を用いて行われていたが、本年度の研究で抽象的な手法を見つけることができた。前年度までに私が扱った旗多様体へのレビ部分群による可視的作用についても、やはり各論を用いた証明を行っていたが、今回抽象的な扱いができるようになったことで、可視的な作用のスライスと表現の分岐則との間の関係についての理解が深まることが期待される。このことはまた、C型群とD型群の無重複表現の間の関係を明らかにする上でも有用となることが期待される。しかし、ここで問題となるのが、抽象的な方法を具体例に適用する際に、開軌道の固定化部分群の情報が必要となることである。作用が線型である場合には概均質ベクトル空間の研究結果を利用することができるが、一般には、固定化部分群の計算は簡単でないと思われる。この辺りは更なる研究の必要がある。一方、簡約型等質球多様体の場合にはスライスの計算が可能であり、球等質空間上の調和解析への応用が期待される。