複素球多様体に対する可視的作用とその表現の分規則への応用

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群からヒルベルト空間上のユニタリ作用素全体への準同型をユニタリ表現といいます。局所コンパクトな群の（連続な）ユニタリ表現は、群の共役作用の下で不変である作用素全体のなす環が可換であるとき、無重複といわれます。これは、表現の分解においてその既約成分に重複が起こらないことを表します。例として1次元トーラスによる線型作用を考えますと、無重複性はその固有値が全て異なることに相当します。特に、群の表現それ自身が既約であれば無重複となります。さて、コンパクトリー群の既約表現に対しては、その（複素）幾何的な実現がBorel-Weilの定理によって与えられます。おおまかに、この定理は任意の既約ユニタリ表現が複素旗多様体という等質空間上の正則線束の切断の空間として実現できる、というものです。より一般の設定として、（コンパクトとは限らない）リー群による複素多様体上のエルミート正則ベクトル束への正則な作用を考えるとき、底空間への作用が推移的（底空間が等質空間となる）でありかつ各点における固定化部分群によるファイバーへの作用が既約であれば、ベクトル束の正則切断の空間に実現されるユニタリ表現は既約である、ということが小林昭七先生によって証明されました。今年度の研究によって、切断の空間だけでなくより高次のコホモロジーの空間に実現されるユニタリ表現に対しても、その既約性を得るのに本研究の手法が有効であるということが分かりました。