有界関数の空間におけるナヴィエ・ストークス方程式の解析

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特別研究員は交付申請書記載内容に基づき、有界関数空間においてナヴィエ・ストークス方程式の研究を行った。ナヴィエ・ストークス方程式とは大気や水のように非圧縮性かつ粘性をもつ流体の運動を記述する流体力学の基礎方程式である。ナヴィエ・ストーク程式の数学解析はこれまでに多くの研究の蓄積があり、べき乗可積分の空間において方程式が時間局所的に解けることが知られている。しかしこれが初期値の大きさを制限せずに時間大域的に解けるかは大きな未解決問題である。時間大域解を構成する方法としては得られた局所解を延長するアプローチが自然に考えられ、解の最大存在時刻付近での正則性を精密に計ることが重要になる。この為には有界関数空間の理論が必要になるが、ナヴィエ・ストークス方程式に対しては有界関数空間の理論は数少ない。これはナヴィエ・ストークス方程式を抽象的な発展方程式として扱う際に用いる射影作用素が有界関数空間上非有界作用素になるなどの、解析上の様々な困難がある為である。ナヴィエ・ストークス方程式の有界関数空間の理論は、線形化方程式の解の明示的な表示が可能な全空間・半空間領域においては先行研究があるが、有界領域などの基本的な領域であっても未知である。以上の理由から有界領域、外部領域などの領域においてナヴィエ・ストークス方程式の有界関数空間の理論を発展させることを研究目標とした。まずストークス半群が有界関数空間上解析半群となるかという問題が研究の焦点になるが、研究は大きく進展した。この問題は長い間未解決の問題であったが全く新しい手法によりこの問題を肯定的に解決することに成功した。典型例として領域が有界領域の場合を扱った論文は国際数学雑誌 Acta Math.に掲載された。また新しく発見した新手法を外部領域に対しても適用し、空間無限遠で非減衰となる関数空間上においてもストークス半群が解析半群として一意的に拡張可能であることを証明した。この結果は数学雑誌 Journal of Evolution Equationsから出版予定となっている。また非定常ストークス方程式に対応するレゾルベント問題の立場から同様の問題を考察することにより、レゾルベントストークス方程式に対する有界関数空間上のアフリオリ評価を新しく発見することに成功した。この結果は国際数学雑誌 Ann Sci. 'Ec. Norm Sup'erから出版予定となっている。以上の研究成果はストークス方式の理論において基本的かつ強力な結果であり、有界関数空間上のナヴィエ・ストークス方程式の理論は大きく前進した。