極限学習を用いた実効的閉集合の次数構造の解明

H25年度に引き続き，H26年度も，ボレル可測函数の構造解析および無限次元ポーランド空間の分類研究を推し進めた．本研究の主要成果は，記述集合論，無限次元トポロジー，そしてベール函数環の構造解析に跨る，計算可能性理論の新たな応用の道を切り開いたことである．1. 近年，記述集合論で中心的問題とされているボレル可測函数の分解への応用を目的として，チューリング次数に関するShore-Slaman和定理を無限次元空間上に拡張することに成功した．この定理を応用することにより，連続函数環の理論におけるゲルファント-コルモゴロフの定理の類似物として，ポーランド空間上の神託付チューリング次数構造が，その上の有限級ベール函数環の構造によって決定されることを示した．2. 第2級ボレル同型の不変量として，チューリング次数の理論を用いた余次数スペクトルの概念を導入し，Haverの性質Cを持つ無限次元カントール多様体の連続体濃度の族で，それぞれの各有限級ボレル構造がいずれも非同型であるものを構成した．これは有限級ベール函数のなすバナッハ環の線型等長（環同型）に関するMotto Rosの問題を解決するのみならず，Roman PolによるAlexandov問題の解決を初めとする，無限次元トポロジーの既存の様々な定理を拡張するものである．3. その他，Sacks強制法から得られる逆系の逆極限による空間の構成手法を導入し，Gregoriadesの問題を解決し，ボレル同型の理論においては非可算解析空間が弱余ススリン-F-同型の下で2種類しか存在しないことと，任意の実数に対するシャープが存在することがZFC上同値であることを示した．他には，KP集合論の(Σ1-projectumがωであるような)ω-モデル上の強制法について，クリーチャー強制法およびイデアル商強制法の理論の観点に基づいた再整備を行った．

H25年度に引き続き，H26年度も，ボレル可測函数の構造解析および無限次元ポーランド空間の分類研究を推し進めた．本研究の主要成果は，記述集合論，無限次元トポロジー，そしてベール函数環の構造解析に跨る，計算可能性理論の新たな応用の道を切り開いたことである．1. 近年，記述集合論で中心的問題とされているボレル可測函数の分解への応用を目的として，チューリング次数に関するShore-Slaman和定理を無限次元空間上に拡張することに成功した．この定理を応用することにより，連続函数環の理論におけるゲルファント-コルモゴロフの定理の類似物として，ポーランド空間上の神託付チューリング次数構造が，その上の有限級ベール函数環の構造によって決定されることを示した．2. 第2級ボレル同型の不変量として，チューリング次数の理論を用いた余次数スペクトルの概念を導入し，Haverの性質Cを持つ無限次元カントール多様体の連続体濃度の族で，それぞれの各有限級ボレル構造がいずれも非同型であるものを構成した．これは有限級ベール函数のなすバナッハ環の線型等長（環同型）に関するMotto Rosの問題を解決するのみならず，Roman PolによるAlexandov問題の解決を初めとする，無限次元トポロジーの既存の様々な定理を拡張するものである．3. その他，Sacks強制法から得られる逆系の逆極限による空間の構成手法を導入し，Gregoriadesの問題を解決し，ボレル同型の理論においては非可算解析空間が弱余ススリン-F-同型の下で2種類しか存在しないことと，任意の実数に対するシャープが存在することがZFC上同値であることを示した．他には，KP集合論の(Σ1-projectumがωであるような)ω-モデル上の強制法について，クリーチャー強制法およびイデアル商強制法の理論の観点に基づいた再整備を行った．