ランダムな係数を持つ確率偏微分方程式に対する中心極限定理

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今年度はランダム環境における確率熱方程式に対する中心極限定理に関する研究成果を論文としてまとめ、専門誌 Journal of Theoretical Probability に投稿しアクセプトしてもらった。これはランダム環境内の粒子の挙動に対するスケール極限等を扱う有限次元の Kipnis-Varadhan 理論を無限次元へ拡張する研究である。また、一次元振動子鎖モデルにおける平衡揺動とスペクトルの跳びに関する研究も進めた。これはパリ大学ドフィーヌ校の Stefano Olla 氏との共同研究である。具体的には、一次元格子空間上、非調和的な相互作用を持つの振動子鎖モデルに、運動量、長さ及びエネルギーを同時に保つ確率的な摂動を加え、三つの保存則を持つ確率モデルを考えた。その平衡状態に対する揺らぎに対し、双曲型の時空スケール変換を行い、スケール変数の極限操作によって線形オイラー方程式を導出した。これは、このモデルにおけるメカニズムなエネルギーの伝達を示すマクロな時間発展方程式である。さらに、このモデルにおけるスペクトルの跳びに関する精密な評価も得た。一次元振動子鎖モデルは、格子空間上のハミルトン系の微視的及び巨視的な運動法則を数学的に関連付けるために使用されている重要なモデルである。非調和的な相互作用を持つ振動子鎖のスケール極限に対する研究は、その計算上の困難によって十分に展開されず、統計力学における未解決問題の一つである。この研究成果を踏まえ、今後は、超拡散型及び拡散型のスケール極限について、研究の進展が期待される。