モデル構造を用いた高次圏の理論による圏化の研究

昨年度、圏のグラフィカル計算を幾何学的側面から記述できることを示した。具体的には、1次元の部分多様体を持つ2次元のコボルディズムのなす対称モノイダル圏の、ある部分構造の代数的記述が、代数的な圏のグラフィカル計算を与えることがわかった。この結果を高次の代数構造に持ち上げるため、本年度は次の二つの拡張を考えた。まず、上記のグラフィカル計算では、種数0の曲面上のオペレーションしか認めていなかったが、一般の種数を持つ場合に拡張した構造を考えた。これは、通常のグラフィカル計算に、付加的な対称性を課したものだと考えられ、例えば対称 pivotal 圏と呼ばれる代数構造は、この一般の種数を持つグラフィカル計算の例になる。一方、この他にも例はあり、その高次代数的な記述を得るために、モノイダル圏の対称性を研究した。これに関しての先行研究として、群オペラッドという概念が考えられていたが、これをより柔軟にしたものとして、crossed interval group に着目し、その分類を与え、その圏が表現可能であることを示した。さらに crossed simplicial group から crossed interval group を自由に生成する関手を構成し、具体的記述を与えた。これにより crossed simplicial group に関する多くの先行結果を crossed interval group の言葉によってモノイダル圏の対称性の中で論じることができるようになると期待される。別の拡張として、∞圏でのグラフィカル計算を考えた。具体的には、グラフィカル計算のオペラッドがコボルディズムから得られたことを利用し、これらの高次の情報を込めて代数的な記述を与えることができた。また、対称 pivotal ∞圏が例になることを示した。旅費を使い、いくつかの国際研究集会で発表した。

昨年度、圏のグラフィカル計算を幾何学的側面から記述できることを示した。具体的には、1次元の部分多様体を持つ2次元のコボルディズムのなす対称モノイダル圏の、ある部分構造の代数的記述が、代数的な圏のグラフィカル計算を与えることがわかった。この結果を高次の代数構造に持ち上げるため、本年度は次の二つの拡張を考えた。まず、上記のグラフィカル計算では、種数0の曲面上のオペレーションしか認めていなかったが、一般の種数を持つ場合に拡張した構造を考えた。これは、通常のグラフィカル計算に、付加的な対称性を課したものだと考えられ、例えば対称 pivotal 圏と呼ばれる代数構造は、この一般の種数を持つグラフィカル計算の例になる。一方、この他にも例はあり、その高次代数的な記述を得るために、モノイダル圏の対称性を研究した。これに関しての先行研究として、群オペラッドという概念が考えられていたが、これをより柔軟にしたものとして、crossed interval group に着目し、その分類を与え、その圏が表現可能であることを示した。さらに crossed simplicial group から crossed interval group を自由に生成する関手を構成し、具体的記述を与えた。これにより crossed simplicial group に関する多くの先行結果を crossed interval group の言葉によってモノイダル圏の対称性の中で論じることができるようになると期待される。別の拡張として、∞圏でのグラフィカル計算を考えた。具体的には、グラフィカル計算のオペラッドがコボルディズムから得られたことを利用し、これらの高次の情報を込めて代数的な記述を与えることができた。また、対称 pivotal ∞圏が例になることを示した。旅費を使い、いくつかの国際研究集会で発表した。