代数多様体上の連接層の導来圏について

本年度は, 昨年度に引き続き圏論的力学系の研究を行った. 昨年度は, K3曲面上の連接層の導来圏の正の圏論的エントロピーを持つ自己同値であってBridgeland安定対象のモジュライ空間上に正の位相的エントロピーを持つ自己同型を誘導するものを発見した. この状況のもとで, 圏論的エントロピーと位相的エントロピーの関係は不等式のレベルでしか得られていなかった. 圏論的エントロピーとK群上に誘導される線形写像のスペクトル半径の関係を調べるGromov-Yomdin問題は, 上の不等式が等式になるかを調べる上で重要である. 本年度はK3曲面上の連接層の導来圏上の自己同値の中でも代表的なものである球面捻りの圏論的エントロピー及びGromov-Yomdin問題に取り組んだ. まず, 一般にdg三角圏上の球面捻りの圏論的エントロピーを計算した. この計算結果から, 球面捻りについて, Gromov-Yomdin問題は肯定的に解けることがわかった. Fanは4次元以上の偶数次元Calabi-Yau超曲面上に球面捻りと直線束テンソルを用いてGromov-Yomdin問題の反例を構成した. それを受けてK3曲面上に球面捻りと直線束テンソルを用いてGromov-Yomdin問題の反例を構成した. このことから, 昨年度の不等式が等式であることを示すには, K3曲面上の連接層の導来圏の自己同値に何らかの制限をつけないといけないことがわかった. また, 昨年度発見したK3曲面上の自己同値の例を用いて, O'Grady型の10次元超ケーラー多様体上の正の位相的エントロピーを持つ自己同型が構成できることがわかった.

本年度は, 昨年度に引き続き圏論的力学系の研究を行った. 昨年度は, K3曲面上の連接層の導来圏の正の圏論的エントロピーを持つ自己同値であってBridgeland安定対象のモジュライ空間上に正の位相的エントロピーを持つ自己同型を誘導するものを発見した. この状況のもとで, 圏論的エントロピーと位相的エントロピーの関係は不等式のレベルでしか得られていなかった. 圏論的エントロピーとK群上に誘導される線形写像のスペクトル半径の関係を調べるGromov-Yomdin問題は, 上の不等式が等式になるかを調べる上で重要である. 本年度はK3曲面上の連接層の導来圏上の自己同値の中でも代表的なものである球面捻りの圏論的エントロピー及びGromov-Yomdin問題に取り組んだ. まず, 一般にdg三角圏上の球面捻りの圏論的エントロピーを計算した. この計算結果から, 球面捻りについて, Gromov-Yomdin問題は肯定的に解けることがわかった. Fanは4次元以上の偶数次元Calabi-Yau超曲面上に球面捻りと直線束テンソルを用いてGromov-Yomdin問題の反例を構成した. それを受けてK3曲面上に球面捻りと直線束テンソルを用いてGromov-Yomdin問題の反例を構成した. このことから, 昨年度の不等式が等式であることを示すには, K3曲面上の連接層の導来圏の自己同値に何らかの制限をつけないといけないことがわかった. また, 昨年度発見したK3曲面上の自己同値の例を用いて, O'Grady型の10次元超ケーラー多様体上の正の位相的エントロピーを持つ自己同型が構成できることがわかった.