Calabi-Yau多様体の自己同型と不変量の研究

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ホモロジー的ミラー対称性予想によって, 連接層の導来圏はシンプレクティック幾何学に由来をもつ導来深谷圏と同値になることが期待される. このことから, 連接層の導来圏の自己同値群と写像類群, Bridgeland安定性条件の空間とタイヒミュラー空間の間には様々な類似が存在することが示唆される. 今年度は, タイヒミュラー空間のサーストンコンパクト化の類似として, Bridgeland安定性条件の空間のサーストンコンパクト化について, 菊田康平氏と小関直紀氏と共同研究を行った.Bapat, Deoparkar, Licataは, 三角圏上の安定性条件の空間に対して, タイヒミュラー空間のサーストンコンパクト化の類似について論じるためのフレームワークを設定した. 菊田氏, 小関氏との共同研究では, Bapat, Deoparkar, Licatのフレームワークの元で, 代数曲線上の連接層の導来圏に対して, Bridgeland安定性条件の空間のサーストンコンパクト化に論じ, その結果をプレプリントとしてまとめた. 代数曲線の種数が1以上の場合には, Bridgeland安定性条件の空間のサーストンコンパクト化を構成できることがわかった. 一方, 代数曲線の種数が0の場合には, Bridgeland安定性条件の空間のサーストンコンパクト化はBapat, Deoparkar, Licataのフレームワークでは構成できないことがわかった. また, 楕円曲線の場合には, ホモロジー的ミラー対称性を通じて, Bridgeland安定性条件の空間のサーストンコンパクト化とトーラスのタイヒミュラー空間のサーストンコンパクト化を自然に同一視できることがわかった. また, K3曲面上のBridgeland安定性条件の空間のサーストンコンパクト化についても少しだけ進展があった.