Verallgemeinerung der Witten-Methode für singuläre Räume und Einführung des entsprechenden Witten-Komplex auf singuläre Räume

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Das Studium des Spektrums des selbstadjungierten Beltrami-Laplace-Operators auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit erlaubt Rückschlüsse auf die Geometrie und Topologie des Raumes. Wittens (analytischer) Ansatz zur Morse-Theorie auf einer kompakten Mannigfaltigkeit besteht darin, den Laplace-Operator mit Hilfe einer Morse-Funktion zu deformieren. Das Spektrum des deformierten Operators ist einfacher und erlaubt es mit analytischen Methoden die sogenannten Morse-Ungleichungen herzuleiten. Der Vorteil dieser analytischen Herangehensweise an den Morse-Smale-Witten-Komplex liegt insbesondere in der Anwendbarkeit auf Situationen, in denen geometrische Methoden nicht greifen (unendlich-dimensionale Problem). In diesem Projekt soll die Witten-Methode für singuläre Räume verallgemeinert und der entsprechende Witten-Komplex auf singulären Räumen eingeführt werden. Dabei soll der deformierte Laplace-Operator auf dem Komplex der Schattenformen und auf dem Komplex der L2-Formen auf einem singulären Raum untersucht werden. Die Deformation wird anhand einer stratifizierten Morse-Funktion im Sinne der Theorie von Goresky/MacPherson vorgenommen. Aus dem so erhaltenen deformierten Komplex können dann insbesondere die Morse-Ungleichungen für die L2-Kohomologie mit analytischen Methoden hergeleitet werden.