結晶基底を用いた　Ｎｅｗｔｏｎ－Ｏｋｏｕｎｋｏｖ　凸体の研究

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本研究の目的は Newton-Okounkov 凸体と結晶基底の関係を理解し, 幾何への応用を与えることである. 報告者は昨年度の研究において, Newton-Okounkov 凸体の具体例である 中島-Zelevinsky 多面体の特別なクラスが Kiritchenko による多面体に対する Demazure 作用素を用いて構成できることを見出した. 今年度はこの結果を 中島-Zelevinsky 多面体に対応するトーリック多様体の研究へ応用した. 具体的には上記の作用素を用いて構成できる 中島-Zelevinsky 多面体に対して, 対応するトーリック多様体が最高ウェイトの取り方に依らないこと, および Gorenstein Fano であることを証明した.シューベルト多様体の特異点解消の一つである Bott-Samelson 多様体が持つ対称性は一般化 Demazure 加群と呼ばれる加群に反映されている. この加群に対する結晶基底を一般化 Demazure 結晶という. 報告者は以前の研究において, Bott-Samelson 多様体のある付値に関する Newton-Okounkov 凸体が一般化 Demazure 結晶のあるパラメトリゼーションから作られる多面体 (一般化ストリング多面体) と一致していることを見出した. 今年度は IBS-CGP の Eunjeong Lee 氏および KAIST の Dong Youp Suh 教授との共同研究において, 一般化 Demazure 加群の特別なクラスを考察し, このクラスに属する加群の既約分解を Newton-Okounkov 凸体を用いて記述する公式を導出した. このクラスには有限個の既約表現のテンソル積が含まれており, テンソル積表現の既約分解に現れる既約表現の重複度をある多面体の格子点の数え上げとして計算する方法を与えている.Eunjeong Lee 氏および Dong Youp Suh 教授との共同研究のきっかけとなった一般化ストリング多面体に関する研究をまとめた論文が Journal of Algebra から出版された.