クラスター構造を用いた旗多様体のトーリック退化の研究

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本研究の目的はクラスター代数の理論を用いて旗多様体のトーリック退化に対する統一的な理解を与え, シンプレクティック幾何学へ応用することである. 今年度の研究では後半の研究の目標である旗多様体のクラスター構造から生じる完全可積分系がトロピカル変異によって移り合うかどうかを解明することはまだできていないが, 旗多様体のトーリック退化が誘導するシューベルト多様体の半トーリック退化について考察し次の結果を得た.Morier-Genoud はストリング多面体から生じる旗多様体のトーリック退化がシューベルト多様体の半トーリック退化を誘導していることを証明した. いくつかの特別なストリング多面体の場合には Morier-Genoud による半トーリック退化の退化先を具体的に記述することができ, それは Kogan 面や pipe dream などのシューベルト・カルキュラスの理論における重要な概念と密接に関係している. 今年度の研究では A 型旗多様体の場合に, これらの記述を一般のストリング多面体まで拡張することに成功した. A 型旗多様体のストリング多面体は Gleizer-Postnikov パスという組合せ論的対象を用いて具体的に記述することができる. 報告者は今年度の研究において, どの Gleizer-Postnikov パスがシューベルト多様体の半トーリック退化の退化先と対応するのかを具体的に決定した. この結果は Gleizer-Postnikov パスを用いたシューベルト・カルキュラスの新しいモデルに繋がるものであり, 本研究の更なる発展が期待できる.