表現論を用いた無限次元空間の指数理論

昨年度と同じ問題を，よりKK理論的な観点から研究した．その問題のモデルはKasparovの結果であるが，それは非コンパクト多様体に局所コンパクト群がproperかつcocompactに作用しているとき，Dirac作用素dの解析的同変指数が定義され，それが，dが作るKホモロジー群の元[d]をdescent homomorphismで送ったものと，群作用からきまるある標準的なKK群の元[c]のKasparov積（Assembly mapによる[d]の像と呼ぶ）で書けることを主張する．昨年度の成果は，Dirac作用素が作るLT同変Kホモロジー群の「元」[D]を（Kホモロジー群の元としてではなくHilbert空間と作用素の組として）構成し，それの素朴な意味でLT同変解析的指数を計算したことにあるが，今年度はその結果をよりKasparovの結果に平行するような形で定式化し直し，Assembly mapの構成に必要なもの構成した．より詳しく言うと，「無限次元空間の関数環のLTによるねじれのない接合積」を新たに構成し，それと昨年構成したLTのねじれ群Ｃ＾＊環のKK群の元として，「[D]のdescent homomorphismによる像」と[c]に対応するK群の元を，（仮想的ではなく本当に）KK群の元として構成し，それらのKasparov積（「Assembly mapの像」と呼べるもの）を計算した．また，解析的指数をKasparovの定義に沿うようにKK群の元として定式化しなおし，「[D]のAssembly mapの像」と一致することを示した．この結果は，Kasparovの結果の無限次元版と言え，論文[Doman Takata:LT-equivariant Index from the Viewpoint of KK-theory]としてarXivで発表してある．

昨年度と同じ問題を，よりKK理論的な観点から研究した．その問題のモデルはKasparovの結果であるが，それは非コンパクト多様体に局所コンパクト群がproperかつcocompactに作用しているとき，Dirac作用素dの解析的同変指数が定義され，それが，dが作るKホモロジー群の元[d]をdescent homomorphismで送ったものと，群作用からきまるある標準的なKK群の元[c]のKasparov積（Assembly mapによる[d]の像と呼ぶ）で書けることを主張する．昨年度の成果は，Dirac作用素が作るLT同変Kホモロジー群の「元」[D]を（Kホモロジー群の元としてではなくHilbert空間と作用素の組として）構成し，それの素朴な意味でLT同変解析的指数を計算したことにあるが，今年度はその結果をよりKasparovの結果に平行するような形で定式化し直し，Assembly mapの構成に必要なもの構成した．より詳しく言うと，「無限次元空間の関数環のLTによるねじれのない接合積」を新たに構成し，それと昨年構成したLTのねじれ群Ｃ＾＊環のKK群の元として，「[D]のdescent homomorphismによる像」と[c]に対応するK群の元を，（仮想的ではなく本当に）KK群の元として構成し，それらのKasparov積（「Assembly mapの像」と呼べるもの）を計算した．また，解析的指数をKasparovの定義に沿うようにKK群の元として定式化しなおし，「[D]のAssembly mapの像」と一致することを示した．この結果は，Kasparovの結果の無限次元版と言え，論文[Doman Takata:LT-equivariant Index from the Viewpoint of KK-theory]としてarXivで発表してある．