極小モデル理論と随伴環の有限生成性

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今年度は擬対数的標準対という新しい特異点のクラスを定義し、これについての研究を主に行った。このクラスは、極小モデル理論が議論できる最も大きい枠組みである対数的標準対のクラスよりもさらに大きいもので、一般的には極小モデル理論は擬対数的標準対の枠組みで議論できない。だが擬対数的標準対のクラスは双有理幾何学で考えられる主要なクラスたちを多く含み、重要な対象であると考えている。今年度の研究により、擬対数的標準対は対数的標準対と似た性質を多く持つことが分かった。これは「擬対数的標準対に小さな双有理変形を施すことができ対数的標準対にできる」という結果から導かれるものである。また、任意の多様体と境界因子の対に関する対数的標準化という双有理変形も証明した。対数的標準化は、一般の特異点解消を用いた双有理変形と比べて、例外因子と呼ばれるものが特殊な性質を持つように構成される。この性質を用いて、全ての多様体と境界因子の対について、非対数的標準軌跡と呼ばれる悪い特異点の集合の特徴付けに成功した。これらの定理は、極小モデル理論への応用はまだ見つかっていないが、偏極自己準同型射を持つ射影多様体に応用が見つかっている。また、ログ飯高予想の特別な場合についての解決も行った。飯高予想と呼ばれる予想は滑らかな射影多様体についてのものだが、極小モデル理論の観点や射影的でない多様体についての飯高予想を考えるとログ飯高予想と呼ばれる予想が自然に表れる。この予想を、一般ファイバーについての極小モデル理論を仮定した場合に証明した。